\(\left|\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{CH}\right|=a\)

\(\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

1.

Gọi M là trung điểm BC thì theo tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow x+y=\dfrac{2}{3}\)

2.

\(CH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

\(T=\left|\text{ }\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|\)

\(\Rightarrow T^2=CA^2+CH^2+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CH}=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+2.a.\dfrac{a}{2}.cos60^0=\dfrac{7a^2}{4}\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

3.

\(10< x< 100\Rightarrow10< 3k< 100\)

\(\Rightarrow\dfrac{10}{3}< k< \dfrac{100}{3}\Rightarrow4\le k\le33\)

\(\Rightarrow\sum x=3\left(4+5+...+33\right)=1665\)

ΔABC đều có BM là đường trung tuyến

nên BM là phân giác của góc ABC và BM\(\perp\)AC

BM là phân giác của góc ABC

=>\(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=30^0\)

M là trung điểm của AC

=>\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}\)

ΔAMB vuông tại M

=>\(AM^2+BM^2=AB^2\)

=>\(BM^2=AB^2-AM^2=a^2-\left(0,5a\right)^2=0,75a^2\)

=>\(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Gọi K là trung điểm của AM

=>\(KA=KM=\dfrac{AM}{2}=0,25a\)

ΔBMK vuông tại M

=>\(BM^2+MK^2=BK^2\)

=>\(BK^2=\left(0,25a\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{13}{16}a^2\)

=>\(BK=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\)

Xét ΔBAM có BK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}=2\cdot\overrightarrow{BK}\)

=>\(\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}\right|=2\cdot BK=2\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{4}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MI})\)

\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MI}\)

\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AM}.\frac{-\overrightarrow{AM}}{2}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}.\overrightarrow{BC}=\frac{BC^2-AM^2}{2}\)

\(=\frac{BC^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}BC)^2}{2}=\frac{BC^2}{8}=\frac{9a^2}{8}\)

Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành

⇒ A H B D  là hình chữ nhật.

C A → − H C → = C A → + C H → = C D → = C D .

C D = B D 2 + B C 2 = A H 2 + B C 2 = 3 a 2 4 + a 2 = a 7 2 .

Đáp án D