gọi ƯCLN cũa tử và mẫu cũa phân số A là d(d \(\in\) N, d> 1)

Ta có:\(\left(m^3+3m^2+2m+5\right)\)chia hết cho d

và \(m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6\) chia hết cho d

Suy ra:\(m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6-\left(m^3+3m^2+2m+5\right)\)chia hết cho d

Hay 1 chia hết cho d=>d=1

=>đpcm

bạn tôi học giỏi toán triệt tiêu kiểu gì mà siêu ghế :)) mẫu và tử cùng là tích thì mới triệt tiêu đc. vẫn còn cộng thế kia mà triệt  như siêu nhân :))

a) \(m\left(m-6\right)x+m=-8x+m^2-2\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2-6m+8\right)=m^2-m-2\)
- Xét \(m^2-6m+8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=2\end{matrix}\right.\)
Th1. Thay \(m=4\) vào phương trình ta có:
\(0.x=10\) (vô nghiệm)
Th2. Thay \(m=2\) vào phương trình ta có:
\(0.x=0\) (luôn đúng với mọi \(x\in R\))
- Xét: \(m^2-6m+8\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne4\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)
Biện luận:
- \(m=4\) phương trình vô nghiệm.
- \(m=2\) phương trình luôn có nghiệm.
- \(m\ne4\) và \(m\ne2\) phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)

b) Đkxđ: \(x\ne-1\)
\(\dfrac{\left(m-x\right)x+3}{x+1}=2m-1\)\(\Leftrightarrow\left(m-x\right)x+3=\left(2m-1\right)\left(x+1\right)\) \(\Leftrightarrow-x^2+x\left(1-m\right)+4-2m=0\) (*)
Xét (*) có nghiệm \(x=-1\) .
Khi đó: \(-\left(-1\right)^2+\left(-1\right)\left(1-m\right)+4-2m=0\)\(\Leftrightarrow m=2\)
Xét \(m=2\) thay vào phương trình ta có:
\(\dfrac{\left(2-x\right)x+3}{x+1}=2.2-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3=0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x = 3.
Xét \(m\ne2\)
\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4.\left(-1\right).\left(4-2m\right)=\)\(m^2-10m+17\)
Nếu \(\Delta=0\Leftrightarrow m^2-10m+17=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5+2\sqrt{2}\\m=5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\) nếu \(m=5+2\sqrt{2}\).
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\)  nếu \(m=5-2\sqrt{2}\).
Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-10m+17>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-5+2\sqrt{2}\right)\left(m-5-2\sqrt{2}>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>5+2\sqrt{2}\\m< 5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Biện luận:
Nếu \(\Delta< 0\Leftrightarrow5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\) thì phương trình vô nghiệm.
Biện luận:
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\)
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\)
Với  m = 2 thì phương trình có duy nhất nghiệm là: x = 3
Với \(m>5+2\sqrt{2}\) hoặc \(m< 5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\);
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Với \(5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\)  và \(m\ne2\) thì phương trình vô nghiệm.

c) Đkxđ: \(x\ne1\)
\(\dfrac{\left(2m+1\right)x-m}{x-1}=x+m\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)x-m=\left(x+m\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x-\left(2+m\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2+m\end{matrix}\right.\)
Phương trình luôn có một \(x=0\).
Để \(x=2+m\) là một nghiệm của phương trình thì:
\(2+m\ne1\Leftrightarrow m\ne-1\).
Biện luận:
\(m=-1\) phương trình có một nghiệm x = 0.
\(m\ne-1\) phương trình có hai nghiệm: \(x=0\) và \(x=2+m\).

bài 1:

a) 4n+4+3n-6<19

<=> 7n-2<19

<=> 7n<21 <=> n< 3

b) n\(^2\) - 6n + 9 - n\(^2\) + 16\(\leq\)43

-6n+25\(\leq\)43

-6n\(\leq\)18

n\(\geq\)-3

câu c

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-3}{2m+3}+\dfrac{2m+3}{2m-3}< 0\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-3\right)\left(2m-3\right)}{\left(2m+3\right)\left(2m-3\right)}+\dfrac{\left(2m+3\right)\left(2m+3\right)}{\left(2m-3\right)\left(2m+3\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-3\right)^2+\left(2m+3\right)^2}{\left(2m+3\right)\left(2m-3\right)}< 0\)

có

\(\left(2m-3\right)^2+\left(2m+3\right)^2>0\forall m\)

\(\Rightarrow\left(2m+3\right)\left(2m-3\right)< 0\Leftrightarrow\dfrac{-3}{2}< m< \dfrac{3}{2}\)

với \(m\in N\) nhé

a)Ta có: \(m^3+3m^2+2m+5=m.\left(m^2+3m+2\right)+5\)

                                                       \(=m.\left[m.\left(m+1\right)+2.\left(m+1\right)\right]+5\)

                                                       \(=m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\)

Giả sử \(d\) là ƯCLN của  \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\) và \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) 

\( \implies\) \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\) chia hết cho d và \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) chia hết cho \(d\)

\( \implies\) \(\left[m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\right]-\left[m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\right]\) chia hết cho \(d\)

\( \implies\) \(1\) chia hết cho \(d\) 

\( \implies\) \(d=1\) 

\( \implies\)  \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\) và \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) nguyên tố cùng nhau 

Vậy \(A\) là phân số tối giản

b)Ta thấy : \(m;m+1;m+2\) là \(3\) số tự nhiên liên tiếp nên nếu \(m\) chia \(3\) dư \(1\) thì \(m+2\) chia hết cho \(3\) ; nếu  \(m\) chia \(3\) dư \(2\) thì \(m+1\) chia hết cho \(3\)

 Do đó : \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)\) chia hết cho \(3\) . Mà \(6\) chia hết cho \(3\)

\( \implies\) \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) có ước nguyên tố là \(3\) 

Vậy \(A\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn 

Bổ sung đề \(m\in Z\)

\(C=\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}=\frac{m\left(m^2+3m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}=\frac{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}\)

\(m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\) là tích 3 số liên tiếp nên chia hết cho 3.

Khi đó C có dạng:\(\frac{3k+2}{3k}\) nên là số hữu tỉ.

zZz Cool Kid zZzMình cx mới vừa nghĩ ra cách c/m lun.

Đầu tiên mình chứng minh C là p/s tối giản và mẫu chia hết cho 3, tử ko chia hết cho 3 nên C là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Suy ra C là số hữu tỉ

Đề đúng là \(m\inℕ\)

a) \(A=\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m^3+3m^2+2m+6}\)  m thuộc N

Với m thuộc N thì:  m³ + 3m² + 2m + 5; m³ + 3m² + 2m + 6 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chúng nguyên tố cùng nhau, hay 

U (m³ + 3m² + 2m + 5; m³ + 3m² + 2m + 6) = 1

hay A là phân số tối giản.

b) \(A=\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m^3+3m^2+2m+6}=1-\frac{1}{m^3+3m^2+2m+6}=1-\frac{1}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}\)

m(m+1)(m+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.

=> m(m+1)(m+2) + 6 chia hết cho 6.

mà 1 chia 6 là số TP vô hạn tuần hoàn.

=> A là số TP vô hạn tuần hoàn.

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>A=m3+3m2+2m+5m3+3m2+2m+6   m thuộc N

Với m thuộc N thì:  m³ + 3m² + 2m + 5; m³ + 3m² + 2m + 6 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chúng nguyên tố cùng nhau, hay 

U (m³ + 3m² + 2m + 5; m³ + 3m² + 2m + 6) = 1

hay A là phân số tối giản.

a ) \(A=\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}=\frac{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}\)

Vì m(m + 1)(m + 2) + 5 và m(m + 1)(m + 2) + 6 là hai số tự nhiên liên tiếp nên chúng là NT cùng nhau hay A là phân số tối giản

b ) Vì m(m + 1)(m + 2) luôn chia hết cho 3 ( vì là tích 3 số tự nhiên liên tiếp )

6 chia hết cho 3

=> m(m + 1)(m + 2) + 6 chia hết cho 3

Mà theo a ) A là phân số tối giản 

\(\Rightarrow A=\frac{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+6}\)

là số thập phân vô hạn tuần hoàn

a: \(C=\dfrac{m\left(m^2+3m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}=\dfrac{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}{m\left(m+1\right)\left(m+2\right)+5}=1\)

Do đó: C là phân số tối giản

b: Phân số C=1/1 được viết dưới dạng là số thập phân hữu hạn

ko phăn tích đc => tồi giản