Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 1 lúc 11:20

Ta có:

\(\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)\)

\(=\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)+\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)+\dfrac{b}{c-a}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\)

Xét:

\(\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\)

\(=1+\dfrac{c}{a-b}\left[\dfrac{b\left(b-c\right)+a\left(c-a\right)}{ab}\right]=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)\)

\(=1+\dfrac{c}{a-b}\left[\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(b-a\right)}{ab}\right]=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+b-c\right)}{ab}\)

\(=1-\dfrac{c\left(a+b-c\right)}{ab}=1-\dfrac{c.\left(-2c\right)}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ab}\) (do \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\))

Tương tự:

\(\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{2a^2}{bc}\)

\(\dfrac{b}{c-a}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{2b^2}{ca}\)

\(\Rightarrow P=3+2\left(\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}\right)=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)

Mặt khác ta có đằng thức quen thuộc:

Khi \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Rightarrow P=3+\dfrac{2.3abc}{abc}=9\)

Big City Boy
Xem chi tiết
Liễu Lê thị
Xem chi tiết
Liễu Lê thị
Xem chi tiết
Liễu Lê thị
Xem chi tiết
OH-YEAH^^
13 tháng 11 2021 lúc 13:53

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}\Rightarrow\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}\left(1\right)\)

\(\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{b}{a+c}\Rightarrow\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a+c}{b}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a+c}{b}\)

Liễu Lê thị
Xem chi tiết
Ngo Mai Phong
13 tháng 11 2021 lúc 18:07

a+b−cc=b+c−aa=c+a−bb

 

⇒a+b−cc+1=b+c−aa+1=c+a−bb+1

 

⇒a+bc=b+ca=c+ab

 

+)Nếu a+b+c=0⇒a+b=−c;b+c=−a;c+a=−b

 

⇒B=a+ba.c+ac.b+cb=−ca.−bc.−ab=−(abc)abc=−1

 

Nếu a+b+c≠0

 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 

a+bc=b+ca=c+ab=2(a+b+c)a+b+c=2

 

⇒a+b=2c

 

      b+c=2a

 

       c+a=2b

 

⇒B=2ca.2bc.2ab=2.2.2=8

Hà An Nguyễn Khắc
Xem chi tiết
Aaron Lycan
4 tháng 4 2021 lúc 22:36

Cách 1:

Ta xét tích a(c-d) và c(a-b)

Ta có: a(c-d)=ac-ad (1)

           c(a-b)=ac-bc(2)

Ta lại có \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{d}\)=>ad=bc (3)

Từ (1), (2), (3) ta có a(c-d)=c(a-d). Do đó \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Cách 2:

 Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)=k thì a=bk, c=dk. 

Xét \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{bk}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(1\right)\)

Xét \(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{dk}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)=> \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Cách 3: Ta có

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Aps dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=>\dfrac{a-b}{c-d}\)

=>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a-b}{c-d}=>\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
4 tháng 4 2021 lúc 22:27

Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}-1=\dfrac{d}{c}-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{d-c}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)

hay \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)(đpcm)

Quang Anh Mạnh Cường
Xem chi tiết
Toru
20 tháng 11 2023 lúc 22:32

Có:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\\\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\\\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0\\\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)=0\\\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b+c)^2-3(a+b)c-3ab]=0\\\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)=0\\\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0(vì.a+b+c\ne0)\\\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\\\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0\\\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\\\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Mà: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Thay \(a=b=c\) vào \(A\), ta được:

\(A=\dfrac{\left(2016+\dfrac{a}{a}\right)+\left(2016+\dfrac{b}{b}\right)+\left(2016+\dfrac{c}{c}\right)}{2017^3}\left(a,b,c\ne0\right)\)

\(=\dfrac{2016+1+2016+1+2016+1}{2017^3}\)

\(=\dfrac{2016\cdot3+1\cdot3}{2017^3}\)

\(=\dfrac{3\cdot\left(2016+1\right)}{2017^3}\)

\(=\dfrac{3}{2017^2}\)

Vậy: ...