Cho x,y,z khác 0 và x+y+z=0 . Tính:
A=\(\dfrac{x^2}{y^2+z^2-x^2}+\dfrac{y^2}{z^2+x^2-y^2}+\dfrac{z^2}{x^2+y^2-z^2}\)
Cho x;y;z khác 0 và x+y khác z và y+z khác x thỏa mãn:
\(\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy}-\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2xz}=1\)
Tính P = x + y + z
Đẳng thức đã cho tương đương với:
\(\dfrac{x^2z+y^2z-z^3+y^2x+z^2x-x^3+z^2y+x^2y-y^3}{2yxz}=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+2xyz-x^2y-y^2z-z^2x-xy^2-yz^2-zx^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)=0\Leftrightarrow z+x=y\) (Do x + y khác z và y + z khác x).
Từ đó P = 2y (Biểu thức của P phụ thuộc vào biến y).
Vậy từ giả thiết đó bạn có thể CMR P=0 đc k
Giúp mk ba mk đg cần gấp
Cho x+y+z=0 và x,y,z khác 0. Tính:
a) \(M=\dfrac{x^2}{x^2-y^2-z^2}+\dfrac{x^2}{y^2-x^2-z^2}+\dfrac{z^2}{z^2-y^2-x^2}\)
b) \(N=\dfrac{1}{x^2+y^2-z^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2-x^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2-y^2}\)
Câu hỏi của Hoàng Liên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Em tham khảo tại link này nhé !
Cho x,y,z là ba số khác 0 và x+y+z=0. Tính giá trị của biểu thức:
\(\dfrac{xy}{x^2+y^2-z^2}+\dfrac{xz}{x^2+z^2-y^2}+\dfrac{yz}{y^2+z^2-x^2}\)
\(x^2+y^2-z^2=x^2+\left(y-z\right)\left(y+z\right)=x^2-x\left(y-z\right)=x\left(x-y+z\right)=x\left(-y-y\right)=-2xy\)
Tương tự \(x^2+z^2-y^2=-2xz;y^2+z^2-x^2=-2yz\)
Cộng VTV:
\(\Leftrightarrow\text{Biểu thức }=\dfrac{xy}{-2xy}+\dfrac{xz}{-2xz}+\dfrac{yz}{-2yz}=-\dfrac{1}{8}\)
Cho x,y,z khác 0 và x+y+z=0. Tính giá trị biểu thức\(\dfrac{xy}{x^2+y^2-z^2}\)+\(\dfrac{xz}{x^2+z^2-y^2}\)+\(\dfrac{yz}{y^2+z^2-x^2}\)
Mong mọi người giúp đỡ
\(Cho TLT:\dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{x+z}{x-z}(x khác cộng trừ z, z khác 0, x khác 0) Tính M=\dfrac{2019(y)^{2}+2020yz+2021(z)^{2}}{{2020(y)^{2}+2021yz+2022(z)^{2}} \)
Cho: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\) và x+y+z=xyz (x, y, z khác 0). CM: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=2\)
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)
Cho a, y, z > 0 và x+y+z = 2 . Tìm MIN của :
A= \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(A=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
\(MinA=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Cho a,b,x,y,z là các số khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\ne0\). Tìm x, y, z biết x+y+z=2010 và \(a^2-bc=0\)
Cho a,b,x,y,z là các số khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\ne0\). Tìm x, y, z biết x+y+z=2010 và \(a^2-bc=0\)
Ta có \(\dfrac{\left(x^2-yz\right)^2}{a^2}=\dfrac{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}{bc}\) mà a2 = bc nên:
\(\left(x^2-yz\right)^2=\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)\).
\(\Leftrightarrow x^4+y^2z^2-2x^2yz=y^2z^2+x^2yz-xy^3-xz^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+xy^3+xz^3-3x^2yz=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^3+y^3+z^3=3xyz\end{matrix}\right.\).
Rõ ràng nếu \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) thì \(x=y=z\) (tính chất quen thuộc). Do đó \(\dfrac{x^2-yz}{a}=0\) (vô lí).
Do đó x = 0.
Kết hợp với x + y + z = 2010 thì y + z = 2010.
Rõ ràng với mọi x, y, z thỏa mãn y + z = 2010 và x = 0 thì ta thấy thỏa mãn đk bài toán.
Vậy...
cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\\x+y+z=1\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>0\end{matrix}\right.\)
tính P=\(x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}\)
Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)
<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2
<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2
<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2
<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)
+) Khi xy + yz + zx = -xyz
=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)
=> xy + yz + zx = xyz
<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Khi x = -y => y = 1 => P = 1
Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1
Vậy P = 1