Bài 1: Gọi d=ƯCLN(3n+11;3n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+11⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+11-3n-2⋮d\)

=>\(9⋮d\)

=>\(d\in\left\{1;3;9\right\}\)

mà 3n+2 không chia hết cho 3

nên d=1

=>3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2:

a:Sửa đề: \(n+15⋮n-6\)

=>\(n-6+21⋮n-6\)

=>\(n-6\in\left\{1;-1;3;-3;7;-7;21;-21\right\}\)

=>\(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27;-15\right\}\)

mà n>=0

nên \(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27\right\}\)

b: \(2n+15⋮2n+3\)

=>\(2n+3+12⋮2n+3\)

=>\(12⋮2n+3\)

=>\(2n+3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12\right\}\)

=>\(n\in\left\{-1;-2;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2};0;-3;\dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{9}{12};\dfrac{9}{2};-\dfrac{15}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

c: \(6n+9⋮2n+1\)

=>\(6n+3+6⋮2n+1\)

=>\(2n+1\inƯ\left(6\right)\)

=>\(2n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};1;-2;\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên \(n\in\left\{0;1\right\}\)

Ta có :

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) =\(3^n.3^2-2^n.2^2+3^n-2^n\)

=\(3^n.9-2^n.4+3^n-2^n\) =\(3^n.\left(9+1\right)-2^n.\left(4+1\right)\)

=\(3^n.10-2^n.5=3^n.10-2^{n-1}.2.5\) = \(3^n.10-2^{n-1}.10\)

=\(10.\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

\(\Rightarrow3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n⋮10\) (ĐPCM)

Sửa : 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

= 3ⁿ.9 - 2ⁿ.4+3ⁿ-2ⁿ

= 3ⁿ.10 - 2ⁿ.5

= 3ⁿ.10 - 2ⁿ.1/2.10

= 10 . (3ⁿ-2ⁿ.1/2) chia hết cho 10

mũ chớ

https://olm.vn/hoi-dap/question/6708.html

vô link ni là có nha!

Ta có : \(2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)

=> \(-5n^2-5n=-5\left(n^2+n\right)\)Như vậy luôn chia hết cho 5 với mọi n

Đặt UCLN(2n + 1 ; 3n + 1) = d

Vì 2n + 1 chia hết cho d => 3.(2n+1) = 6n + 3 chia hết cho d

Vì 3n + 1 chia hết cho d => 2.(3n+1) = 6n+2 chia hết cho d  

Từ trên => [(6n + 3) - (6n  + 2)] = (6n + 3 - 6n - 2) chia hết cho d

1 chia hết cho d => d = 1 

Vì UCLN(2n + 1 ; 3n + 1) = 1

Nên phân số 2n+1/3n+1 tối giản (n thuộc N)

Giả sử \(\frac{2n+1}{3n+1}\)chưa tối giản thì 3n + 1 phải chia hết cho 2n + 1 và 3n + 1 phải khác 1. (vì n thuộc N)

3n + 1 chia hết cho 2n + 1

=> 2(3n + 1) chia hết cho 2n + 1

=> 6n + 1 chia hết cho 2n + 1

=> 6n + 3 - 2 chia hết cho 2n + 1

=> 3(2n + 1) - 2 chia hết cho 2n + 1

mà 3(2n + 1) chia hết cho 2n + 1

=> 2 chia hết cho 2n + 1 

=> 2n + 1 thuộc {-2 ; -1 ; 1 ; 2}

=> 2n thuộc {-3 ; -2 ; 0 ; 1}

=> n thuộc {-1 ; 0} 

mà n thuộc N => n = 0

Nếu n = 0 thì 3n + 1 = 3.0 + 1 = 1 trái với điều kiện n khác 1. 

Vậy \(\frac{2n+1}{3n+1}\)đã tối giản.

a) Ta có: $(3n+2,5n+3)=(3n+2,2n+1)=(n+1,2n+1)=(n+1,n)=1$.

Các câu sau chứng minh tương tự.