Đặt UCLN(2n + 1 ; 3n + 1) = d
Vì 2n + 1 chia hết cho d => 3.(2n+1) = 6n + 3 chia hết cho d
Vì 3n + 1 chia hết cho d => 2.(3n+1) = 6n+2 chia hết cho d
Từ trên => [(6n + 3) - (6n + 2)] = (6n + 3 - 6n - 2) chia hết cho d
1 chia hết cho d => d = 1
Vì UCLN(2n + 1 ; 3n + 1) = 1
Nên phân số 2n+1/3n+1 tối giản (n thuộc N)
Giả sử \(\frac{2n+1}{3n+1}\)chưa tối giản thì 3n + 1 phải chia hết cho 2n + 1 và 3n + 1 phải khác 1. (vì n thuộc N)
3n + 1 chia hết cho 2n + 1
=> 2(3n + 1) chia hết cho 2n + 1
=> 6n + 1 chia hết cho 2n + 1
=> 6n + 3 - 2 chia hết cho 2n + 1
=> 3(2n + 1) - 2 chia hết cho 2n + 1
mà 3(2n + 1) chia hết cho 2n + 1
=> 2 chia hết cho 2n + 1
=> 2n + 1 thuộc {-2 ; -1 ; 1 ; 2}
=> 2n thuộc {-3 ; -2 ; 0 ; 1}
=> n thuộc {-1 ; 0}
mà n thuộc N => n = 0
Nếu n = 0 thì 3n + 1 = 3.0 + 1 = 1 trái với điều kiện n khác 1.
Vậy \(\frac{2n+1}{3n+1}\)đã tối giản.
