b) Ta có: KI\(\perp\)BC(gt)

AH\(\perp\)BC(gt)

Do đó: KI//AH(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Suy ra: \(\widehat{HAI}=\widehat{KIA}\)(hai góc so le trong)(1)

Ta có: ΔABK=ΔIBK(cmt)

nên KA=KI(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔKAI có KA=KI(cmt)

nên ΔKAI cân tại K(Định nghĩa tam giác cân)

Suy ra: \(\widehat{KAI}=\widehat{KIA}\)(hai góc ở đáy)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HAI}=\widehat{CAI}\)

Suy ra: AI là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\)(Đpcm)

a) Xét ΔABK vuông tại A và ΔIBK vuông tại I có 

BK chung

\(\widehat{ABK}=\widehat{IBK}\)(BK là tia phân giác của \(\widehat{ABI}\))

Do đó: ΔABK=ΔIBK(Cạnh huyền-góc nhọn)

a: Xét ΔAKB vuông tại K và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

góc A chung

=>ΔAKB=ΔAFC

b: Xét ΔABC có

BK,CF là đường cao

BK cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại I

=>AI là trung trực của BC

Bài 1:

a: Ta có: ΔBKC vuông tại K

mà KM là đường trung tuyến

nên KM=BC/2(1)

Ta có: ΔBHC vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=BC/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MH=MK

hay ΔMHK cân tại M

b: Kẻ MN vuông góc với HK

=>N là trung điểm của HK

Xét hình thang CBDE có

M là trung điểm của BC

MN//DB//EC

DO đó: N là trung điểm của DE

=>DK=HE

a) Xét ΔBAK vuông tại A và ΔBCK vuông tại C có

BK chung

BA=BC(ΔBAC cân tại B)Do đó: ΔBAK=ΔBCK(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{ABK}=\widehat{CBK}\)(hai góc tương ứng)

mà tia BK nằm giữa hai tia BA,BC

nên BK là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(đpcm)

b) Ta có: ΔBAK=ΔBCK(cmt)

nên KA=KC(Hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA=BC(ΔABC cân tại B)

nên B nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có:KA=KC(cmt)

nên K nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK là đường trung trực của AC

hay BK\(\perp\)AC(đpcm)

Vì BK là đường trung trực của AC(cmt)

nên BK vuông góc với AC tại trung điểm của AC

mà BK cắt AC tại I(gt)

nên BK\(\perp\)AC tại I và I là trung điểm của AC

Ta có: I là trung điểm của AC(cmt)

nên \(CI=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBIC vuông tại I, ta được:

\(BC^2=BI^2+IC^2\)

\(\Leftrightarrow BI^2=BC^2-IC^2=10^2-3^2=91\)

hay \(BI=\sqrt{91}cm\)

Vậy: \(BI=\sqrt{91}cm\)