Ta có :

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Do \(a+b=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=1\)

Mà \(a^2=b^2=a+b\) ,ta có :

\(a+b-ab=1\)

\(\Rightarrow a+b-ab-1=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)-\left(ab-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)-b\left(a-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\1-b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

Thay vaò biểu thức ,có :

\(1^{2015}+1^{2015}=1+1=2\)

Từ (1) và (2) suy ra:   a 2 <  b 2

Ta có: a < b ⇒  a 3  <  a 2 b (3)

a < b ⇒ a b 2 <  b 3 (4)

a < b ⇒ a.a.b < a.b.b ⇒ a 2 b < a b 2  (5)

Từ (3), (4) và (5) ⇒  a 3  <  b 3

A=1

chuẩn

VP `=(a+b)(a^2-ab+b^2)`

`=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3`

`=a^3+b^3`

.

VP `=(a-b)(a^2+ab+b^2)`

`=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3`

`=a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3`

`=a^3-b^3`

đúng rồi mà

Ta có: \(a^3+b^3\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Ta có: \(a^3-b^3\)

\(=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2+3ab\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Mk ms tìm được GTNN thôi!

Ta có: A = a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab) = (a + b)(1 - ab)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm a² và b² ta có:

a² + b² \(\ge\) 2ab

\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 2ab

\(\Leftrightarrow\) 1 - 2ab \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) 1 - ab \(\ge\) ab

\(\Rightarrow\) A \(\ge\) ab(a + b)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = \(\sqrt{0,5}\)

\(\Rightarrow\) A \(\ge\) 0,5 . 2\(\sqrt{0,5}\) = \(\sqrt{0,5}\)

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

\(a^2+b^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)

\(A_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(0;1\right);\left(1;0\right)\)

\(a^3+a^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}a^2\)

\(b^3+b^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}b^2\)

Cộng vế:

\(2\left(a^3+b^3\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có: A = a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab) = (a + b)(1 - ab)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số (a + b)² và 1 ko âm ta có:

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+1}{2}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2+2ab+1}{2}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2+2ab}{2}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\) 1 + ab \(\ge\) a + b

\(\Leftrightarrow\) (1 - ab)(1 + ab) \(\ge\) A

\(\Leftrightarrow\) 1 - a²b² \(\ge\) A

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) ab = 1; a² + b² = 1

Khi đó: A \(\le\) 0

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

a) Rút gọn M = 279. Với m = 2017 giá trị của M = 279.

b) N = 8 a 3   -   27 b 3   =   ( 2 a ) 3   -   ( 3 b ) 3 = ( 2 a   -   3 b ) 3  + 3.2a.3b.(2a - 3b)

Thay a.b = 12;2a - 3b = 5 ta thu được N - 1205.

c) Cách 1: Từ a + b = 1 Þ a = 1 - b thế vào K.

Thực hiện rút gọn K, ta có kết quả K = 1.

Cách 2: Tìm cách đưa biêu thức về dạng a + b.

a 3   +   b 3   =   ( a   +   b ) 3  – 3ab(a + b) = 1 - 3ab;

6 a 2 b 2 (a + b) = 6 a 2 b 2  kết hợp với 3ab( a 2 + b 2 ) bằng cách đặt 3ab làm nhân tử chung ta được 3ab( a 2  + 2ab + b 2 ) = 3ab.

Thực hiện rút gọn K = 1.

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

=>ab+bc+ac=0

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)

=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)

=>0=0(đúng)