ta có a^3+5a= a^3-a+6a

                   = a(a^2-1)+6a

                    = a(a-1)(a+1)+6a

vì với a thuộc z thì a, a-1,a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong 3 số có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2

=> a(a-1)(a+1) chia hết cho 2 và 3

mà (2;3)=1 nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 6

lại có 6a chia hết cho 6 với mọi a thuộc z 

=> a(a-1)(a+1) +6a chia hết cho 6

hay a^3+5a chia hết cho 6

cm bằng qui nạp 
thử n=1 ta có n^3+5n = 6 => dúng 
giả sử đúng với n =k 
ta cm đúng với n= k+1 
(k+1)^3+5(k+1) = k^3 +5k + 3k^2 +3k +6 
vì k^3 +5k chia hết cho 6, và 6 chia hết cho 6 nên ta cần cm 3k^2 +3k chia hết cho 6 <=> k^2 +k chia hết cho 2 
mà k(k +1) chia hết cho 2vì nếu k lẻ thì k+1 chẳn => chia hết 
nế k chẳn thì đương nhiên chia hết 
vậy đúng n= k+ 1 
theo nguyên lý qui nạp ta có điều phải chứng minh

\(a^3+5a=a\left(a^2+5\right)=a\left(a^2-25+30\right)=30a+a\left(a-5\right)\left(a+5\right)\)

Xét tổng:

(5a-4b)+4(2a+b)=5a-4b+8a+4b

<=>(5a-4b)+4(2a+b)=13a

Ta có : 13 chia hết cho 13 => 13a chia hết cho 13 với mọi a thuộc Z

=> [(5a-4b)+4(2a+b)] chia hết cho 13                 (1)

Ta có (5a-4b) chia hết cho 13 - Bài cho               (2)

Từ (1) ; (2) => 4(2a+b) chia hết cho 13

mà (4,13) =1

=> (2a+b) chia hết cho 14

Do đó nếu (5a-4b) chia hết cho 13 thì (2a+b) chia hết cho 13

a: Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

b: Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

a) \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)(đúng do a+b+c = 0)

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c\), mà a,b,c đôi một khác nhau => Đẳng thức không xảy ra\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>ab+ac+bc\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc>0\)

Ta có: ​\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)​\(\Rightarrow a+b+c=0\)( do (1))

a: Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

b: Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

Bài 1:

$5a+8b\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-3(2b+2a)\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-6b-6a\vdots 3$

$\Leftrightarrow 2b-a\vdots 3$

 Ta có đpcm. 

Bài 2. Bổ sung thêm điều kiện $n$ là số tự nhiên.

Ta có: $A=n(2n+7)(7n+7)=7n(2n+7)(n+1)$

Vì $n,n+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại 1 số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n\vdots 3$ thì $A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+7$ chia hết cho $3$ 

$\Rightarrow A\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$

$\Rightarrow A\vdots 3$

Tóm lại $A\vdots 3(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$

TH1: a, b, c có ít nhất 1 số chi hết cho 7

=> abc chia hết cho 7

=> Đpcm

TH2: a, b, c không có số nào chia hết cho 7

=> a, b, c chia 7 dư từ 1 đến 6

=> a^3, b^3, c^3 chia 7 dư 1 hoặc 6 (đã được CM)

(Bạn có thể tự CM bằng công thức sau: 

VD: a chia 7 dư r => a = 7k + r (với k là thương)

=> a^3 = (7k + r)^3 )

=> a^3, b^3, c^3 có ít nhất 2 số cùng số dư

=> (a^3 - b^3)(b^3 - c^3)(c^3 - a^3) có ít nhất 1 cặp số chia hết cho 7

=> Đpcm

A = a³ - a

A = a.(a² - 1)

A = a.(a-1).(a+1)

A = (a-1).a.(a+1)

Vì (a-1).a.(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên (a-1).a.(a+1) chia hết cho 2 và 3

Do (2,3) = 1 => (a-1).a.(a+1) chia hết cho 6 => A chia hết cho 6

Câu A lm đc thì các câu B,C,D trở nên rất đơn giản

B = a³ - a + 6a

Do a³ - a chia hết cho 6, 6a chia hết cho 6

=> B chia hết cho 6

C = a³ + 11a

C = a³ - a + 12a

Do a³ - a chia hết cho 6, 12a chia hết cho 6

=> C chia hết cho 6

D = a³ - 19a

D = a³ - a - 18a

Do a³ - a chia hết cho 6, 18a chia hết cho 6

=> D chia hết cho 6

giúp mk nha mấy bn