Question

CMR: a³+b³+c³+5a+5a+5c chia hết cho 6 với mọi a,b,c thuộc

Answer 1

a³ + b³ + c³ + 5a + 5b + 5c

= a³ - a + b³ - b + c³ - c + 6a + 6b + 6c

= a(a² - 1) + b(b² - 1) + c(c² - 1) + 6a + 6b + 6c

= a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + 6(a + b + c)

a;b;c \(\in Z\) nên a(a - 1)(a + 1); b(b - 1)(b + 1); c(c - 1)(c + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> a(a - 1)(a + 1); b(b - 1)(b + 1); c(c - 1)(c + 1) chia hết cho 3

Mà 6(a + b + c) chia hết cho 6

Do đó a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + 6(a + b + c) chia hết cho 6

hay a³ + b³ + c³ + 5a + 5b + 5c chia hết cho 6 (đpcm)