Ta có: \(\hept{\begin{cases}a>c+d\\b>c+d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-c>d\\b-d>c\end{cases}\Rightarrow}\left(a-c\right)\left(b-d\right)>cd\Leftrightarrow ab-bc-ad+cd>cd}\Leftrightarrow ab>ad+bc\)

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge c+d\\b\ge c+d\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-c\ge d\ge0\\b-d\ge c\ge0\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-d\right)\ge cd\)

\(\Leftrightarrow ab-bc-ad+cd\ge cd\)

\(\Leftrightarrow\) \(ab\ge ad+bc\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(c+d=4\)

\(\Rightarrow\left(c+d\right)^2=4^2\)

\(\Rightarrow c^2+2cd+d^2=16\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+2cd+d^2=2+16=18\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(4a^2+c^2\ge2.2a.c=4ac\)

\(b^2+d^2\ge2bd\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+d^2\ge4ac+2bd\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+2cd+d^2\ge4ac+2bd+2cd\)

\(\Rightarrow18\ge4ac+2bd+2cd\left(theo\left(1\right)\right)\)

\(\Rightarrow18\ge2\left(2ac+bd+cd\right)\)

\(\Rightarrow9\ge2ac+bd+cd\)

\(\Rightarrow2ac+bd+cd\le9\)

\(\Rightarrow A_{max}=9\Leftrightarrow2a=c;b=d\)

Để max đúng 

BẠN LÀM SAI RỒI phải tìm rõ cả a,b,c,d 

Nếu ko lm sao có dấu bằng xảy ra

vì hệ pt 4a²+b²=2 c=d

              c+d=4; 2a=b

vô nghiệm

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=> a=bk ; c=dk

Suy ra:

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2.\left(k^2+1\right)}{d^2.\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\) (1)

\(\frac{ab}{cd}=\frac{b.k.b}{d.k.d}=\frac{b^2}{d^2}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)

Đặt a/b = c/d = k

=> a = bk; c = dk

Thay vào đk đề bài ta đc:

(bk)² + b²/ (dk)² + d² ​ = b² (k² + 1)/d²(k² + 1) = b/d (2)

ab/cd = bk.b/dk.d = b².k/d².k = b²/d² = b/d (1)

Từ (1) và (2) suy ra a² + b²/c² + d² = ab/cd → ĐPCM.

\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\) =>\(\frac{a.a}{b.b}\) =\(\frac{c.c}{d.d}\) =\(\frac{a^2}{b^2}\) =\(\frac{c^2}{d^2}\) =>\(\frac{a^2}{c^2}\) =\(\frac{b^2}{d^2}\) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau=>\(\frac{a^2}{c^2}\) =\(\frac{b^2}{d^2}\) =\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)