Cho \(S_n=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) Tìm các số nguyên dương n sao cho \(\left[S_n\right]=2\)
Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)
Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\) đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\), \(b=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\)
CMR với \(n\ge1\) ta có \(S_n-2=\left[\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right]^2\)
Câu trả lời ở đây: https://dethihsg.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-toan-9-phong-gddt-cam-thuy-2011-2012/amp/
Gọi \(S_n=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\) , n là số tự nhiên >0 . Tìm tất cả giá trị của n sao cho \(n\le100\) và \(S_n\) có giá trị nguyên
Lời giải:
\(S_n=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}-\sqrt{1})(\sqrt{2}+\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}\)
\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+..+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(=\sqrt{n+1}-1\)
Để \(S_n\in\mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{n+1}-1\in\mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{n+1}\in\mathbb{Z}\)
Đặt \(\sqrt{n+1}=t\in\mathbb{N}>1\) do \(n>0\)
\(\Rightarrow n+1=t^2\Rightarrow t^2\leq 101\) do \(n\leq 100\)
\(\Rightarrow 0< t\leq \sqrt{101}\)
Mà \(t\in\mathbb{N}^*\Rightarrow t\in\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}\)
\(\Rightarrow n=t^2-1\in\left\{3; 8; 15; 24;35;48;63;80;99\right\}\)
1.a,b,c là các số thực dương. CM \(\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b+c}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}\right)\le2\)
2. x,y là các số nguyên sao cho \(x^2-2xy-y^2\) ;\(xy-2y^2-x\) đều chia hết cho 5Chứng minh \(2x^2+y^2+2x+y\) cũng chia hết cho 5
3. cho \(a_1a_2...a_{50}\) là các số nguyên thoả mãn \(1\le a_1\le a_2...\le a_{50}\le50;a_1+a_2+...+a_{50}=100\) chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đc một vài số có tổng là 50
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Cho x>0 và x≠1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\) bằng \(\dfrac{a}{b}\)(với a,b là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) (với a,b là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) phân số tối giảm). Giá trị a+b bằng
A, 5
B. 9
C. 7
D. 6
\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(2\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(=x-\sqrt{x}+1\)
\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^3+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=7\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)u_n\end{matrix}\right.\). gọi \(S_n=u_1+\dfrac{u_2}{2}+\dfrac{u_3}{3}+...+\dfrac{u_n}{n}\). tìm \(\lim\limits S_n\)
cho \(S_n=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}+.....+\dfrac{n}{4^n}}\)Tính \(s_{16}\)
\(S_n=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}+...+\dfrac{n}{4^n}}\)
\(S_{16}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}+...+\dfrac{16}{4^{16}}}\)
Đặt: \(S_{16}=\sqrt{T}\Leftrightarrow T=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}+...+\dfrac{16}{4^{16}}\)
\(4T=1+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}+...+\dfrac{16}{4^{15}}\)
\(4T-T=\left(1+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}+...+\dfrac{16}{4^{15}}\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}+...+\dfrac{16}{4^{16}}\right)\)
\(3T=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{15}}-\dfrac{16}{4^{16}}\)
Đặt: \(G=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{15}}\)
\(4G=4+1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^{14}}\)
\(4G-G=\left(4+1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^{14}}\right)-\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{15}}\right)\)
\(3G=4-\dfrac{1}{4^{15}}\)
\(G=\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{4^{15}.3}\)
\(T=\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{4^{15}.3}-\dfrac{16}{4^{16}}\)
\(S_{16}=\sqrt{T}=\sqrt{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{4^{15}.3}-\dfrac{16}{4^{16}}}\)