a) Nhận thấy AB + BC = AC nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C

b, c) HS tự làm.

d) Nhận thấy AB + AC = 1 2 BC +  1 2 BC = BC nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Bài 1 :

Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A (gt)

Mà có : AH là đường cao trong tam giác cân

=> AM đồng thời là đường trung trực trong tam giác cân

=> \(BH=HC\) (tính chất đường trung trực)

Nên có : \(BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.10=5\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H có :

\(AH^2=BH^2+AB^2\) (Định lí PITAGO)

=> \(AH^2=5^2+12^2\)

=> \(AH^2=169\)

=> \(AH=\sqrt{169}=13\left(cm\right)\)

Bài 3 :

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

=> \(AC^2=12^2+16^2\)

=> \(AC^2=400\)

=> \(AC=\sqrt{400}=20\)(cm)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có :

\(BH^2=AB^2-AH^2\)

=> \(BH^2=13^2-12^2\)

=> \(BH^2=25\)

=> \(BH=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Nên ta có : \(BC=BH+HC=5+16=21\left(cm\right)\)

 phân tích vế trái từ vế trái cho vế phải vậy là ra

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

a)Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế suy ra \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra tại a = b = c

Ta có \(a+b+c=2\Leftrightarrow b+c=2-a\).

Do đó \(1=ab+bc+ca=a\left(b+c\right)+bc=a\left(2-a\right)+bc\Leftrightarrow bc=a^2-2a+1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(4bc\le\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow4\left(a^2-2a+1\right)\le\left(2-a\right)^2\Leftrightarrow3a^2-4a\le0\Leftrightarrow a\left(3a-4\right)\le0\Leftrightarrow0\le a\le\dfrac{4}{3}\).

Tương tự với b, c. Ta có đpcm.

Ta có: AB+AC=BC<=>2+4=6

Theo BĐTTG, tổng độ dài 2 đoạn thẳng = độ dài đoạn thứ 3 thì 3 điểm đó thẳng hàng

Vậy A,B,C thẳng hàng