a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

hay MNCB là hình thang

b: Xét tứ giác MNCD có 

MN//CD

MN=CD

Do đó: MNCD là hình bình hành

c: Xét tứ giác ADCE có 

N là trung điểm của AC
N là trung điểm của DE

Do đó:ADCE là hình bình hành

a) Xét tứ giác EDCB có ED//BC(gt)

nên EDCB là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang EDCB có \(\widehat{B}=\widehat{DCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên EDCB là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

b) Xét tứ giác AKCH có 

D là trung điểm của đường chéo AC(gt)

D là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua D)

Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AKCH có \(\widehat{AHC}=90^0\)(AH⊥BC)

nên AKCH là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

c) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

⇒H là trung điểm của BC

hay HB=HC

mà HC=AK(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCK)

nên BH=AK

Xét ΔABC có 

H là trung điểm của BC(cmt)

D là trung điểm của AC(gt)

Do đó: HD là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒HD//AB và \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AC(gt)

DE//BC(gt)

Do đó: E là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

⇒\(AE=\dfrac{AB}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra HD//AE và HD=AE

Xét tứ giác AEHD có 

HD//AE(cmt)

HD=AE(cmt)

Do đó: AEHD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒Hai đường chéo AH và ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà AH cắt ED tại F

nên F là trung điểm chung của AH và ED

Xét tứ giác AKHB có 

AK//HB(AK//HC, B∈HC)

AK=HB(cmt)

Do đó: AKHB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒Hai đường chéo AH và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà F là trung điểm của AH(cmt)

nên F là trung điểm của BK(đpcm)

a) Tứ giác có 2 đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

là hình bình hành.

b) là hình bình hành

Mà

(đpcm)

c) Do đối xứng với qua mà

đối xứng với qua là trung điểm của

Và là trung điểm của

là đường trung bình

là hình thang

có vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

cân đỉnh

(*)

Mà tứ giác là hình bình hành (**)

Từ (*) và (**) suy ra

Tứ giác là hình bình hành có 2 đường chéo

Suy ra là hình thang cân.

Tứ giác có (do là hình bình hành)

là hình thang có đáy là

...

a) Giao điểm của AH và BC là E. Dễ thấy: \(\Delta\)BHM = \(\Delta\)CKM (c.g.c) => ^HBM = ^KCM

=> ^HBC = ^KCB. Do H đối xứng với I qua BC => ^HBC = ^IBC => ^KCB = ^IBC (1)

Xét \(\Delta\)HIK: E là trung điểm IH; M là trung điểm của HK => EK là đường trung bình \(\Delta\)HIK

=> EM // IK hay IK // BC => Tứ giác BIKC là hình thang (2)

Từ (1) & (2) => Tứ giác BIKC là hình thang cân (đpcm).

b) Dễ c/m tứ giác BHCK là hình bình hành (Do có tâm đối xứng) => HC // BK

Hay HC // GK => Tứ giác GHCK là hình thang 

Để tứ giác GHCK là hình thang cân thì ^GHC = ^KCH

<=> ^HAC + ^HCA = ^HCB + ^HBC <=> ^HCA = ^HCB ( Vì ^HAC = ^HBC, cùng phụ ^ACB)

<=> CH là phân giác ^ACB. Mà CH cũng là đường cao của \(\Delta\)ABC => \(\Delta\)ABC cân tại C

Vậy khi \(\Delta\)ABC cân tại C thì tứ giác GHCK là hình thang cân.

Bài 1

a/Xét tứ giác BHCD có M đồng thời là trung điểm của cả HD và BC 

Do đó BHCD là hình bình hành \(\Rightarrow BH//CD,CH//BD\)

Mặt khác vì ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên \(BH\perp AC,CH\perp AB\)

Suy ra \(BD\perp AB,CD\perp AC\Rightarrow\Delta ABD,\Delta ACD\)là tam giác vuông 

b/Xét \(\Delta ABD,\Delta ACD:\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^0\);I là trung điểm của cạnh huyền chung AD

Suy ra \(IA=IB=IC=ID\)

Bài 2a/Vì AD=CD(gt) nên D nằm trên trung trực của đoạn AC suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{ECA}=90^0-60^0=30^0\)

Suy ra \(\widehat{BAD}=90^0+\widehat{DAC}=120^0\)

b/Trước hết ta thấy ABCD đã là hình thang,nên ta đi chứng minh \(\widehat{BCD}=\widehat{ABC}=60^0\)

Ta có \(\widehat{BCD}=\widehat{DCA}+\widehat{ACB}=\widehat{DAC}+30^0=30^0+30^0=60^0\)

Vậy ABCD là hình thang cân

c/Ta có \(\Delta BCE:AE=BE,\widehat{ABE}=60^0\Rightarrow AE=BE=AB\)

\(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}.\widehat{ADC}=60^0;\widehat{BAD}=120^0=\widehat{BED}\)

Suy ra ABED là hình bình hành 

Mà ta còn có AB=EB 

Vậy ABED là hình thoi

Bài 3a/Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta ABF\)có \(AD=AB;DE=BF;\widehat{ADE}=\widehat{ABF}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ABF\left(c.g.c\right)\Rightarrow AE=AF,\widehat{DAE}=\widehat{BAF}\Rightarrow DPCM\)

b/Dùng định lý Menelaus cho tam giác ECF:\(\overline{I;B;D}\Leftrightarrow\frac{DC}{DE}.\frac{BF}{BC}.\frac{IE}{IF}=1\Leftrightarrow\frac{DC}{DE}.\frac{BF}{BC}=1\left(I\right)\)

Ta thấy rõ (I) đúng do BC=DC;BF=DE

Vậy I thuộc BD

c/(mình thấy bình thường mà có cần kẻ gì)

Vì K và A đối xứng qua I mà I là trung điểm EF nên được AEFK là hình bình hành

Mà \(\widehat{EAF}=90^0;AE=AF\left(cmt\right)\)

Vậy AEFK là hình vuông