Bài 1:

Để biểu thức nhận giá trị nguyên thì \(3\sqrt{x}+1⋮2\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}+2⋮2\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-1\in\left\{1;-1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}\in\left\{2;0;6\right\}\)

hay \(x\in\left\{4;0;36\right\}\)

Lời giải:

ĐK: $x\geq 0; x\neq 4; x\neq 9$

a) 

\(P=\frac{2\sqrt{x}-9}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}+\frac{(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}-\frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}-9+(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

b) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $\sqrt{x}-3$ phải là ước nguyên của $4$

Mà $\sqrt{x}-3\geq -3$ nên:

$\Rightarrow \sqrt{x}-3\in\left\{\pm 1;\pm 2;4\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{4;16;1;25;49\right\}$ (đều thỏa mãn.

\(P=\dfrac{B}{A}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}:\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-1-2}{\sqrt{x}-1}\\ =1-\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Để \(P=\dfrac{B}{A}\)  có giá trị nguyên

Thì \(2⋮\left(\sqrt{x}-1\right)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\inƯ\left(2\right)=\left\{2;-2;1;-1\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{9;4;0\right\}\) thì \(x\) nguyên và \(P\) có giá trị nguyên

a) \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}-4}{x-1}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\left(dkxd:x\ge0;x\ne1;x\ne4\right)\)

\(=\left[\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

b) Với \(x\ge0;x\ne1;x\ne4\):

Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) vào \(P\), ta được:

\(P=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+2}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2}+2}{\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}+2}{\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}+1+2}{\sqrt{2}+1-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{2+3\sqrt{2}}{2}\)

c) Với \(x\ge0;x\ne1;x\ne4\),

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}-1+3}{\sqrt{x}-1}=1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\)

Để \(P\) có giá trị nguyên thì \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\) có giá trị nguyên

\(\Rightarrow 3\vdots\sqrt x-1\\\Rightarrow \sqrt x-1\in Ư(3)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\in\left\{1;3;-1;-3\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{2;4;0;-2\right\}\) mà \(\sqrt{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{2;4;0\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{4;16;0\right\}\)

Kết hợp với ĐKXĐ của \(x\), ta được:

\(x\in\left\{0;16\right\}\)

Vậy: ...

\(\text{#}Toru\)

a: \(N=\dfrac{x+\sqrt{x}+1+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x+\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-1}\)

b: \(P=M\cdot N\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x+3\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

Cái này mình chỉ rút gọn được P thôi, còn P nguyên thì mình xin lỗi bạn rất nhiều nha

uk

\(B=\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{x-4\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\)

Để B nguyên thì \(\sqrt{x}-3\in\left\{1;-1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{4;2;8\right\}\)

hay \(x\in\left\{16;4;64\right\}\)

\(a,P=B:A\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\right):\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\right)\left(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne9\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\right):\left[\dfrac{2\left(\sqrt{x}+3\right)+\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right]\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\right):\left[\dfrac{3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right]\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{3\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+3}{3}\)

\(b,\) Để \(P=\dfrac{\sqrt{x}+3}{3}\) có giá trị nguyên

thì \(\sqrt{x}+3⋮3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in B\left(3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in B\left(3\right)\) 

Kết hợp với điều kiện, ta được:

\(P\) nguyên khi \(x=m^2\left(m\in Z;m⋮3;m\ne3\right)\)

#Toru

a: 

ĐKXĐ: x>=0; x<>9

\(A=\dfrac{2\sqrt{x}+6+\sqrt{x}-3}{\left(x-9\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}+3}{x-9}\)

\(P=B:A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{x-9}{3\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{3}\)

b: P nguyên khi \(\sqrt{x}+3⋮3\)

=>\(\sqrt{x}\in B\left(3\right)\)

=>\(x=k^2\left(k\in Z;k⋮3\right)\)

Bài 5:

\(C=\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(\sqrt{x}-2)+1}{\sqrt{x}-2}=2+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để $C$ nguyên nhỏ nhất thì $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ là số nguyên nhỏ nhất.

$\Rightarrow \sqrt{x}-2$ là ước nguyên âm lớn nhất

$\Rightarrow \sqrt{x}-2=-1$

$\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn đkxđ)

Bài 6:

$D(\sqrt{x}+1)=x-3$

$D^2(x+2\sqrt{x}+1)=(x-3)^2$

$2D^2\sqrt{x}=(x-3)^2-D^2(x+1)$ nguyên 

Với $x$ nguyên ta suy ra $\Rightarrow D=0$ hoặc $\sqrt{x}$ nguyên 

Với $D=0\Leftrightarrow x=3$ (tm)

Với $\sqrt{x}$ nguyên:

$D=\frac{(x-1)-2}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}$

$D$ nguyên khi $\sqrt{x}+1$ là ước của $2$

$\Rightarrow \sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}$

$\Leftrightarrow x=0; 1$

Vì $x\neq 1$ nên $x=0$.

Vậy $x=0; 3$

Bài 6: 

Để D nguyên thì \(x-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;1\right\}\)