Cho \(\left\{{}\begin{matrix}m,n>0\\x^2+y^2=1\\\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=\dfrac{1}{m+n}\end{matrix}\right.\)
CMR \(\dfrac{x^{1005}}{m^{1004}}+\dfrac{y^{1005}}{n^{1004}}=\dfrac{1}{\left(m+n\right)^{1004}}\)
1. giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\\\dfrac{2}{xy}-\dfrac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
2. cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=3a\\ax-y=2\end{matrix}\right.\) (a là tham số) tìm nghiệm duy nhất của hpt thỏa mãn \(2x+y^2=1\)
3. cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\) tìm nghiệm duy nhất của hpt thỏa mãn x<0; y<0
4. cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}y-16x=m\\m^2-y=-4\end{matrix}\right.\) tìm m để hpt có nghiệm nguyên
1. Giải các hpt sau:
a, \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=4\\3x+4y=19\end{matrix}\right.\) b, \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3y}=\sqrt{3}\\\sqrt{3x}+y=7\end{matrix}\right.\)
2. Giải các hpt sau:
a, \(\left\{{}\begin{matrix}2-\left(x-y\right)-3\left(x+y\right)=5\\3\left(x-y\right)+5\left(x+y\right)=-2\end{matrix}\right.\) b, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2}{y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{y-1}=1\end{matrix}\right.\)
c, \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=24\\\dfrac{x}{9}+\dfrac{y}{27}=2\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\) d, \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2=15}\end{matrix}\right.\)
3. Cho hpt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)x-y=3\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
a, Giải hpt khi m=\(\sqrt{2}\)
b, tìm giá trị của m để hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y>0
Bài 2:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)
=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2
=>x=1/4; y=-2
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
=>y=6 và x-2=5/4
=>x=13/4; y=6
c: =>x+y=24 và 3x+y=78
=>-2x=-54 và x+y=24
=>x=27; y=-3
d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)
=>y+2=1 và x-1=25
=>x=26; y=-1
mn giúp mk bài này với ạ:
Bài 1 giải hệ phương trình:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x+1\right|+\sqrt{y}=5\\\left(x^2+2x+1\right)y=36\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}xy-\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{3}\\xy-\dfrac{y}{x}=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x+xy+y=0\\x^2+y^2=8\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{9}{2}\\xy+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
CÁC BẠN LÀM CÂU NÀO CŨNG ĐƯỢC Ạ
Tìm các cặp (x,y) thõa mãn\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{9}{2}\\xy+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
1)cho a,b,c>0 CMR \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
2)tìm x,y nguyên dương thỏa \(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)=4xy+9\)
3) ghpt a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+3=4x\\x^3+12x+y^3=6x^2+9\end{matrix}\right.\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}x^4+3=4y\\y^4+3=4x\end{matrix}\right.\)
Xí câu BĐT:
ta cần chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
tương tự ta có:\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
mà a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca\) ( chứng minh đầy đủ nhá)
do đó \(S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca\)
suy ra BĐT ban đầu đúng
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
\(S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
\(x^4-y^4=4y-4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) ( Vì \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0\) với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
\(x^4-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\) ( Vì \(x^2+2x+3>0\) )
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)
2, Phương trình đã cho tương đương với:
\(x^2y^2+x^2+y^2+1+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)-4xy=9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)\left(1-xy\right)+\left(xy-1\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+xy-1\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)\left(y+1\right)\right]^2=9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)=3\) ( Vì x,y nguyên dương )
Vì \(x;y\in Z^+\) nên x-1; y+1 nguyên và không âm.
Suy ra x-1 ; y+1 là ước nguyên dương của 3
Xét 2 TH ta tìm được các giá trị x;y cần tìm
Giải các hệ phương trình sau:
1, \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|+\dfrac{2}{y}=2\\-\left|x-1\right|+\dfrac{4}{y}=1\end{matrix}\right.\)
2, \(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-\dfrac{5}{y-1}=-3\\\left|x-1\right|+\dfrac{2}{y-1}=3\end{matrix}\right.\)
3, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-5}+\dfrac{6}{\sqrt{y}-2}=2\\\dfrac{2}{x-5}-\dfrac{1}{\sqrt{y}-2}=-9\end{matrix}\right.\)
4, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{7}{\sqrt{x+7}}-\dfrac{4}{\sqrt{y-6}}=\dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{\sqrt{x+7}}+\dfrac{3}{\sqrt{y-6}}=\dfrac{13}{6}\end{matrix}\right.\)
Tìm điều kiện giúp mình nhé!
1: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|+\dfrac{2}{y}=2\\-\left|x-1\right|+\dfrac{4}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{y}=3\\\left|x-1\right|=2-\dfrac{2}{y}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\\left|x-1\right|=2-\dfrac{2}{2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x\in\left\{2;0\right\}\end{matrix}\right.\)
2: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-\dfrac{5}{y-1}=-3\\\left|x-1\right|+\dfrac{2}{y-1}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-\dfrac{5}{y-1}=-3\\2\left|x-1\right|+\dfrac{4}{y-1}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{9}{y-1}=-9\\\left|x-1\right|+\dfrac{2}{y-1}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\\left|x-1\right|=3-\dfrac{2}{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x\in\left\{3;-1\right\}\end{matrix}\right.\)
3: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-5}+\dfrac{12}{\sqrt{y}-2}=4\\\dfrac{2}{x-5}-\dfrac{1}{\sqrt{y}-2}=-9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{13}{\sqrt{y}-2}=13\\\dfrac{1}{x-5}=2-\dfrac{6}{\sqrt{y}-2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=9\\\dfrac{1}{x-5}=2-\dfrac{6}{3-2}=2-\dfrac{6}{1}=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=9\\x-5=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{4}\\y=9\end{matrix}\right.\)
1) cho x,y,z là các số thực thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}xyz=2\\2+x+xy\ne0\end{matrix}\right.\)
tính B= \(\dfrac{1}{1+y+yz}+\dfrac{2}{2+2z+xz}+\dfrac{2}{2+x+xy}\)
2) giải hpt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(y^2-4y\right)\left(2y-x\right)=2\\y^2-2y-x=3\end{matrix}\right.\)
3)GPT \(x^2-2x=2\sqrt{2x-1}\)
4) tìm n nguyên dương để A=\(2^9+2^{13}+2^n\) là số chính phương
5) tìm Min của A=\(\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}+\dfrac{xy+y+x}{\left(x+y+1\right)^2}\) (x;y dương )
Bài 5: Đặt \(t=\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\)
Ta đã biết bđt quen thuộc là \(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
Vậy nên ta sẽ chứng minh \(t\geq 3\)
Thật vậy: \(t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Ta có: \(A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=3\Leftrightarrow x=y=1\)
3)
x^2 = 2x + \(\sqrt{2x-1}\) \(\Rightarrow\) x^2 = ( 2x -1 ) + \(\sqrt{2x-1}\) +1
\(\Rightarrow\) x^2 = (\(\sqrt{2x-1}\) + 1)^2 chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử là ok
Cho x,y,z khác 0 thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\\\dfrac{2}{xy}-\dfrac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
Tính P=(x+y+2z)2018
giúp mình ạ!!!
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{z}=-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{z^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{2}{xy}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow -\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=4>0\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}< 0\) (vô lý)
Do đó không tồn tại $x,y,z$ kéo theo không tồn tại giá trị của P
Bài 1: Giải hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2x-2}-\dfrac{1}{y-1}=2\\\dfrac{3}{2x-2}-\dfrac{2}{y-1}=1\end{matrix}\right.\)
Bài 2 : Cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=1\\x-my=m\end{matrix}\right.\)( m là tham số )
a) Tìm đk của m để hệ PT có nghiệm duy nhất
b) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > -1
Bài 3 : Cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\x+my=5\end{matrix}\right.\)( m là tham số )
Tìm m để hệ PT có nghiệm thỏa mãn x + y= 1 - \(\dfrac{m^2}{m^2+1}\)
Bài 1:
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{2x-2}\\v=\dfrac{1}{y-1}\end{matrix}\right.\) (ĐK: \(x,y\ne1\))
Hệ trở thành:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-v=2\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u-3v=6\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-v=5\\u-v=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=2+-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=-3\end{matrix}\right.\)
Trả lại ẩn của hệ pt:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y-1}=-5\\\dfrac{1}{2x-2}=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=-\dfrac{1}{5}\\2x-2=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{4}{5}\\x=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)