1, Ta có : y = mx - 2m - 1 

<=> m ( x - 2 ) - 1 - y = 0 

<=> m(x - 2) - (y+1) = 0

Dấu ''='' xảy ra khi x = 2 ; y = -1 

Vậy (d) luôn đi qua A(2;-1) 

2, (d) : y = mx - 2m - 1

Cho x = 0 => y = -2m - 1 

=> d cắt Oy tại A(0;-2m-1) 

=> OA = \(\left|-2m-1\right|\)

Cho y = 0 => x = \(\dfrac{2m+1}{m}\)

=> d cắt trục Ox tại B(2m+1/m;0) 

=> OB = \(\left|\dfrac{2m+1}{m}\right|\)

Ta có : \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2m+1}{m}.\left(-2m-1\right)\right|=2\)

\(\Leftrightarrow\left|-\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{m}\right|=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{m}=4\\-\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{m}=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2+8m+1=0\\4m^2+1=0\left(voli\right)\end{matrix}\right.\)

<=> m = \(\dfrac{-2\pm\sqrt{3}}{2}\)

Toán lớp 9.

2: Tọa độ điểm A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_A=0\\mx=2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2m+1}{m};0\right)\)

Tọa độ điểm B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\left(-2m-1;0\right)\)

Theo đề, ta có: \(\left|\dfrac{4m^2+4m+1}{m}\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2+4m+1=4m\\4m^2+4m+1=-4m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4m^2+8m+1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2=3\)

hay \(m\in\left\{\dfrac{\sqrt{3}-2}{2};\dfrac{-\sqrt{3}-2}{2}\right\}\)

Đáp án B.

Phương trình đường thẳng d : y = m x + 2 + 2 .

Phương trình hoành độ giao điểm của  và d:

  2 x + 1 x − 1 = m x + 2 + 2 ⇒ m x 2 + m x − 2 m − 3 = 0 (*).

Để  (H) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt   ⇔ m ≠ 0 Δ > 0 ⇔ m ≠ 0 9 m 2 + 12 > 0 (**). Gọi  là hai nghiệm của (*).

Khi đó M = x 1 ; m x 1 + 2 + 2 , N = x 2 ; m x 2 + 2 + 2 .

Hai cạnh của hình chữ nhật tạo bởi bốn đường thẳng như đã cho trong bài là x 2 − x 1  và  m x 2 − x 1   . Hình chữ nhật này là hình vuông khi và chỉ khi m x 2 − x 1 = x 2 − x 1 ⇔ m = 1 ⇔ m = ± 1 . Ta thấy chỉ có M=1 thỏa mãn (**).

Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B.

\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)