Với \(x=0\Rightarrow n^5+n^4+1=1\left(loai\right)\)

Với \(x=1\Rightarrow n^5+n^4+1=3\left(TM\right)\)

Với \(x\ge2\) ta có:

\(n^5+n^4+1\)

\(=n^5-n^2+n^4-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n^3-1\right)+n\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=A\cdot\left(n^2+n+1\right)+B\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(A+B+1\right)\) là hợp số với mọi \(n\ge2\)

Vậy \(n=1\)

Với \(n=0\Rightarrow A=n^8+n+1=1\left(KTM\right)\) vì 1 không là SNT

Với \(n=1\Rightarrow A=n^8+n+1=3\left(TM\right)\) vì 3 là SNT

Với \(n\ge2\) ta có:

\(A=n^8+n+1\)

\(=\left(n^8-n^2\right)+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n^6-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left[\left(n^3\right)^2-1^2\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^3-1\right)\left(n^3+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X\cdot\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X'\left(x^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(X'+1\right)\) là hợp số với \(n\ge2\)

Vậy \(n=1\)

1) Để n⁵+n⁴+1 là số chính phương thì \(\orbr{\begin{cases}n^2+n+1=1\\n^5+n^4+1=n^2+n+1\end{cases}}\)

TH1: \(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\left(n\inℕ\right)\)

Thử lại sai

TH2: \(n^2+n+1=n^5+n^4+1\)

\(\Leftrightarrow n^5-n^2+n^4-n=0\)

\(\Leftrightarrow n\left(n^3-1\right)\left(n+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\\n=0\end{cases}}\)

Thử lại thấy n=1 thỏa mãn

Vậy n=1

Lời giải:

Xét modun $3$ của $n$ thì ta dễ dàng thấy $n^2+n+2$ không chia hết cho $3$ với mọi $n$. Do đó $n^2+n+2$ nếu thỏa mãn đề thì chỉ có thể là tích 2 số tự nhiên liên tiếp (nếu từ 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ chia hết cho 3) 

Đặt $n^2+n+2=a(a+1)$ với $a\in\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow 4n^2+4n+8=4a^2+4a$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2+8=(2a+1)^2$
$\Leftrightarrow 8=(2a+1)^2-(2n+1)^2=(2a-2n)(2a+2n+2)$

$\Leftrightarrow 2=(a-n)(a+n+1)$

Hiển nhiên $a+n+1> a-n$ và $a+n+1>0$ với mọi $a,n\in\mathbb{N}$ nên:

$a+n+1=2; a-n=1$

$\Rightarrow n=0$ (tm)

Bài 1: 

Để \(\dfrac{n^2+7}{n+7}\) là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+7⋮n+7\\n>-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2-49+56⋮n+7\\n>-7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+7\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;7;-7;8;-8;14;-14;28;-28;56;-56\right\}\\n>-7\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{-6;-5;-3;0;1;7;21;49\right\}\)

Vì n giống nhau nên n=1,2,3,...( cực nhiều luôn )

Vì 4n+3 là số lẻ, 2n+6 là số chẵn nên 4n+3 ko chia hết cho 2n+6

Vậy ko có giá trị nào của n thỏa mãn đề bài

n+3 ⋮ n-2

⇒ n+3-(n-2) ⋮ n-2

⇒n+3-n+2 ⋮ n-2

⇒ n-n+3+2 ⋮ n-2

⇒5  ⋮ n-2

⇒ n-2 ϵ U(5)=(1;5)

+ n-2=1

    n=1+2

   n=3

+ n-2=5

   n=5+2

n=7

vậy n ϵ (3;7)

nếu đúng thì tích đúng cho mình nha

help me

n² + 2n + 7 chia hết cho n + 2

=> n(n+2)+7 chia hết cho n+2

Vì n(n+2) chia hết cho n+2

=> 7 chia hết cho n+2

=> n+2 thuộc Ư(7)

Mà n là số tự nhiên

=> n = 5

Ta có : (n^2+2n)+7

=n.(n+2)+7

Vì n.(n+2) chia hết cho n+2 =>n.(n+2)+7 chia hết cho n+2 <=>7 chia hết cho n+2

=>n+2 \(\in\)Ư(7)

=>n+2 \(\in\){-7;-1;1;7}

=>n\(\in\){-9;-3;-1;5}

Vậy khi n\(\in\){-9;-3;-1;5} thì n^2+2n+7 chia hết cho n+2

không mất tổng quát ta giả sử \(m\ge n\)

ta có :\(2^n\left(2^{m-n}+1\right)=40=2^4\left(2^2+1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=4\\m-n=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=6\\n=4\end{cases}}}\)

vậy ta có hai cặp số thỏa mãn là (4,6) và (6,4)

CẲM ƠN BẠN NHÉ

biểu thức đã cho là số tự nhiên khi n^2+14n-256=a^2(a là số tự nhiên)

n^2+14n+49=a^2+49+256=a^2+305

(n+7)^2= a^2+305

vì n là số tự nhiên nên n+7 là số tự nhiên nên (n+7)^2 là số chính phương có dang b^2(b là số tự nhiên)

suy ra a^2+305=b^2

b^2-a^2=305

(b-a)(b+a)=305

vì a và b là số tự nhiên nên a+b là số tự nhiên và b+a>b-a

suy ra b+a là ước tự nhiên của 305={1;5;61;305}

nếu b+a=1 thì b-a=305>b+a(loại)

nếu b+a=5 thì b-a=61>b+a(loại)

nếu b+a=61 thì b-a=5 suy ra a=28 thay vào tìm được n=26

nếu b+a=305 thì b-a=1 suy ra a=152 thay vào tìm đươc n=146

vây n=26 hoặc n=146 tmđb