Ta thấy \(x,x+1\) luôn có 1 số chăn và 1 số lẻ

Do đó  \(x^{20},\left(x+1\right)^{11}\) cũng luôn có 1 số chẵn và 1 số lẻ 

\(\Rightarrow2016^y=x^{20}+\left(x+1\right)^{11}\) lẻ

Điều này xảy ra khi \(y=0\) , còn nếu \(y\ge1\) thì \(2016^y\) luôn chẵn ( mâu thuẫn )
Vậy y = 0 

\(\Rightarrow x^{20}+\left(x+1\right)^{11}=2016^o=1\)

Nếu \(x=0\) thì đễ thấy thỏa mãn

Nếu   \(x\ge1\) thì \(x^{20}+\left(x+1\right)^{11}>1\) ( vô lý )

Vậy \(\left(x,y\right)=\left(0,0\right)\)
 

Vế trái là tổng 2 số chẵn lẻ nên luôn là số lẻ \(\Rightarrow\) vế phải lẻ

\(\Rightarrow y=0\)

\(\Rightarrow x^{20}+\left(x+1\right)^{11}=1\Rightarrow x=0\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)

a) Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta xét \(x\ge2\)

 Do đó , y là số lẻ 

Mà 12^x , y²  \(\equiv1\left(mod8\right)\)

Suy ra 5^x \(\equiv1\left(mod8\right)\)

=> x chẵn 

Đặt x = 2k (k > 0)

=> 5^2k = (y - 12^k)(y + 12^k) 

Mặt khác , 5 là số nguyên tố nên tồn tại một số m,m < k thõa : y + 12^k = 5^{2k - m} 

và y - 12^k = 5^m 

=> 2.12^k = 5^m(5^{2k - 2m} - 1)

Nhận thấy : 2 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với 5 

=> 5^2k + 12^2k = (12^k + 1)²

Mà 2.12^k  =  5^m =>  m = 0 và y = 12^k + 1

=> 2.12^k = 25^k - 1

Tìm từng giá trị của k thấy k = 1 thõa mãn phương trình 

Vậy x = 2 , y = 13

b) Dùng nhị thức Newton , ta khai triển hai hạng tử được 

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}=2^{2016}+2^{2016}+3^{1008}+3^{1008}=2\left(2^{2016}+3^{1008}\right)⋮2\)

Vậy ...... 

2) \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\)

\(=\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}\right]^2+\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^{1013}\right]^2\)

\(=\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}+\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}\right]^2-2\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{1013}\)

=> BT luôn luôn chẵn (đpcm)

tham khảo ở đây 

https://olm.vn/hoi-dap/detail/234177736814.html

1.

a) ( x - 140) : 7 = 3³ - 2³ x 3

=>( x - 140) : 7 = 27 - 8 x 3

    ( x - 140) :7  = 27 - 24

    ( x - 140) : 7 = 3

     x - 140         = 3 x 7

     x - 140         = 21

            x           = 21 + 140

            x           = 161 

b) 2^x : 2⁵ = 1

    2^{x - 5}    = 1

=>2^{x - 5}    = 2⁰

=> x - 5    = 0

        x       = 0 + 5

        x       = 5

Bài 2:

10^n có tổng các chữ số là 1

5^3 có tổng các chữ số là 8

=>10^n+5^3 có tổng các chữ số là 9

=>10^n+5^3 chia hết cho 9