Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 
 giao của AC và BD là O. 
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm) 

*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 

* giao của AC và BD là O. 

trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 

trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 

cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 

2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 

<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)

tự đặt tên vào hình nha :))

Xét tam giác AOB; tam giác BOC; tam giác COD; tam giác AOD ta có:

AO+BO>AB;BO+CO>BC;CO+DO>CD;AO+DO>AD

(áp dụng bất đẳng thức tam giác)

⇒AO+BO+BO+CO+CO+DO+AO+DO>AB+BC+CD+AD( còn đâu tự làm )

⇒2(AO+BO+CO+DO)>AB+BC+CD+AD

=

⇒2.(AC+BD)>AB+BC+CD+AD

Giả sử tứ giác đó là ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)

​\(BC+CD>BD\)

\(\Rightarrow AB+BC+AD+DC+AB+AD+BC+CD>AC+AC+BD+BD\)

\(\Leftrightarrow2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>AC+BD\)

 Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó: 
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 
* giao của AC và BD là O. 
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm) 

Bạn tham khảo ở đây : 

/hoi-dap/question/76098.html

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OD>CD\)

\(OD+OA>AD\)

\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

\(BD< AB+AD\) ; \(BD< BC+CD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+AD\right)\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

Vậy ta có : \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.Ta có :

OA + OB > AB , OB + OC > AC ; OC + CD > CD , OD + OA > AD.Cộng từng vế các bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ,ta được \(AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

Kết hợp : AC + BD < AB + BC + CD + DA

Vậy \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC< CD+DA\)

Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong ∆OAB, ta có:

OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Trong ∆OCD ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c

Gọi O là giao của AC và BD

AB>AO+BO

AD>AO+DO

BC>BO+CO

DC>DO+CO

=>AB+AD+BC+CD>2(AC+BD)

=>(AC+BD)<P/2

AC<AB+BC

AC<AD+DC

BD<BC+CD

BD<AB+AD

=>2(AC+BD)<2*C ABCD

=>AC+BD<C ABCD

. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có:
AB < OA + OB (1)
BC < OB + OC (2)
CD < OC + OD (3)
DA < OD + OA (4)
(1) + (2) + (3) + (4) :
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD)
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*)
Mặt khác :
AC < AB + BC (1')
BD < BC + CD (2')
AC < CD + DA (3')
BD < DA + AB (4')
(1') + (2') + (3') + (4') :
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA)
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**)
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có:
AB < OA + OB (1)
BC < OB + OC (2)
CD < OC + OD (3)
DA < OD + OA (4)
(1) + (2) + (3) + (4) :
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD)
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*)
Mặt khác :
AC < AB + BC (1')
BD < BC + CD (2')
AC < CD + DA (3')
BD < DA + AB (4')
(1') + (2') + (3') + (4') :
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA)
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**)
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Chúc bạn học tốt !!!