hoc cm quy nap chua Kq=n^2(n+1)

day la cach cm 

1.2 + 2.5 +...+ n(3n-1) = n^2(n+1) ̣́(*) 

n = 1=> 2 = 2 đúng. 
giả sử (*) đúng với n = k, ta có: 
1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1) = k^2(k+1) (1) 
ta cm (*) đúng với n = k + 1, thật vậy: 
(1) => 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = k^2(k+1) + (k + 1)[3(k + 1) - 1] 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)[k^2 + 3k +2) 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)(k^2 + k + 2k +2 ) 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)[k(k + 1) +2(k +1)] 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)^2(k + 2) 
vậy (*) đúng với n = k +1 , theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n

Ta có : a.(3a-1)=3a^2-a                                                                                                                                                                  Cho a lần lượt bằng 1;2;3;4;....;n ta được :                                                                                                                                      1.2=3.1^2-1                                                                                                                                                                                  2.5=3.2^2-2                                                                                                                                                                                   ................                                                                                                                                                                                  n.(3n-1)=3n^2-n                                                                                                                                                                         Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:  1.2+2.5+3.8+......+n.(3n-1)=3.(1^2+2^2+....+n^2)-(1+2+3+.....+n)                                                                                                                                       =3.[n.(n+1).(n+2)/6]-n.(n+1)/2                                                                                                                                                   = n^2.(n+1)

- Thời tiết,khí hậu,các loại đất khác nhau ảnh hưởng đến sự hút nước và muối khoáng của cây
- VD.nếu thời tiết quá nong bức ít mưa thì cây cối sẽ khô héo =>cây chết
bộ rễ thường ăn sâu lan rộng có nhiều rễ con để có thể hút được nhiều nước và muối khoáng giúp cây duy trì sự sống trong điều kiện khắc nghiệt của thiên nhiên.

\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)=n^2\left(n+1\right)\left(1\right)\)

Khi n=1 thì ta có: \(1\cdot2=1^2\left(1+1\right)\)(đúng)

Khi n>1 thì k=n+1

Giả sử như (1) đúng với k=n, ta cần chứng minh nó cũng đúng với k=n+1, tức là ta sẽ cần chứng minh: 

\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+3-1\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+1+1\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+2\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)\)

=>\(n^3+n^2+3n^2+2n+3n+2=\left(n^2+2n+1\right)\left(n+2\right)\)

=>\(n^3+4n^2+5n+2=n^3+2n^2+2n^2+4n+n+2\)

=>\(0n=0\)(đúng)

Vậy: (1) luôn đúng với mọi \(n\in Z^+\)