\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)=n^2\left(n+1\right)\left(1\right)\)
Khi n=1 thì ta có: \(1\cdot2=1^2\left(1+1\right)\)(đúng)
Khi n>1 thì k=n+1
Giả sử như (1) đúng với k=n, ta cần chứng minh nó cũng đúng với k=n+1, tức là ta sẽ cần chứng minh:
\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+3-1\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+2\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)\)
=>\(n^3+n^2+3n^2+2n+3n+2=\left(n^2+2n+1\right)\left(n+2\right)\)
=>\(n^3+4n^2+5n+2=n^3+2n^2+2n^2+4n+n+2\)
=>\(0n=0\)(đúng)
Vậy: (1) luôn đúng với mọi \(n\in Z^+\)
