Ta có : \(\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}\dfrac{cx-az}{b}\text{=}\dfrac{ay-bx}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\text{=}\dfrac{abz-acy+bcz-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}\text{=}0\)

\(\Rightarrow\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}0\Rightarrow bz\text{=}cy\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{c}\text{=}\dfrac{y}{z}\left(1\right)\)

\(\dfrac{cx-az}{b}\text{=}0\Rightarrow cx\text{=}az\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a}\text{=}\dfrac{z}{x}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2):

\(\Rightarrow dpcm\)

Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?

Ta có: \(a^2=bc\)

\(\Leftrightarrow a\cdot a=b\cdot c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

hay \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)(đpcm)

\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\) hả Lặng Thầm

ta có : \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)

khi đó ta có : \(\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{b-a}{a}\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\) (đpcm)

a, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

b, Ta có: \(a^2=bc\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1$

(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\dfrac{a}{b}=1=>a=b$

$\dfrac{b}{c}=1=>b=c$

$\dfrac{c}{a}=1=>c=a$

Vậy a = b = c.

b) Ta có : $a^2=bc=>\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}$(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$=>\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}$

$=>\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}$

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(a^2=bc\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Đặt:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\b=ak\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{ck+ak}{ck-ak}=\dfrac{k\left(c+a\right)}{k\left(c-a\right)}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{1}{c}:\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\)

\(\Rightarrow2ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ac-ab=ab-bc\)

\(\Rightarrow a.\left(c-b\right)=b.\left(a-c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)( đpcm )

Võ Nguyễn Thương Thương 

oOo Thiếu gia ác ma đừng hôn tôi oOo có gì ko