để \(y=\frac{x}{\left(x+2004\right)^2}\) lớn nhất thì \(\frac{\left(x+2004\right)^2}{x}\) phải bé nhất

ta có \(\frac{\left(x+2004\right)^2}{x}=\frac{x^2+2.2004.x+2004^2}{x}\)

                                      \(=\frac{x^2}{x}+\frac{4008x}{x}+\frac{2004^2}{x}\)

                                      \(=4008+x+\frac{2004^2}{x}\)

để \(\frac{\left(x+2004\right)^2}{x}\)bé nhất thì \(4008+x+\frac{2004^2}{x}\)bé nhất 

\(=>x+\frac{2004^2}{x}\)phải bé nhất 

ta thấy \(x.\frac{2004^2}{x}=2004^2\)(tích này không đổi, luôn bằng 2004² với mọi giá trị của x)

áp dụng tính chất: nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số bằng nhau 

ta có : vì tích của x và\(\frac{2004^2}{x}\)không đổi  nên \(x+\frac{2004^2 }{x}\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=\frac{2004^2}{x}\)

                                                                                                                                        \(=>2004^2=x^2\)

                                                                                                                                          \(=>x=2004\)

thay x=2004 vào y ta được

\(y=\frac{2004}{\left(2004+2004\right)^2}=\frac{1}{8016}\)

vậy GTLN của \(y=\frac{1}{8016}\) khi và chỉ khi x=2014

B1: ĐXXĐ: \(x\ne\pm2;x\ne-1\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\dfrac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right):\dfrac{-6\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\left(\dfrac{x-2-2x-2+x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right):\dfrac{-6\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{-4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}:\dfrac{-6\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{-4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}.\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{-6\left(x+2\right)}=\dfrac{2\left(x+1\right)}{3\left(x+2\right)^2}\)

b, \(A=\dfrac{2\left(x+1\right)}{3\left(x+2\right)^2}>0\)

\(\Leftrightarrow2x+2>0\) (vì \(3\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\))

\(\Leftrightarrow x>-1\).

-Vậy \(x\in\left\{x\in Rlx>-1;x\ne2\right\}\) thì \(A>0\).

a: \(A=\dfrac{x-2-2x-4+x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{-\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{6\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{-6}{\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{-\left(x+1\right)}{6\left(x+2\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)^2}\)

b: A>0

=>x+1>0

=>x>-1

c: x^2+3x+2=0

=>(x+1)(x+2)=0

=>x=-2(loại) hoặc x=-1(loại)

Do đó: Khi x^2+3x+2=0 thì A ko có giá trị

a: Ta có: \(x^2=3-2\sqrt{2}\)

nên \(x=\sqrt{2}-1\)

Thay \(x=\sqrt{2}-1\) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=7+5\sqrt{2}\)

Lời giải:

$\frac{3}{2}B=\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$
$\Rightarrow 1-\frac{3}{2}B=1-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x+\sqrt{x}+1}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \frac{3}{2}B\leq 1$

$\Rightarrow B\leq \frac{2}{3}$

Vậy $B_{\max}=\frac{2}{3}$ khi $\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1$

1:

ĐKXĐ: \(x\notin\left\{3;-2;1\right\}\)

 \(A=\left(\dfrac{x\left(x+2\right)-x+1}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}\right):\left(\dfrac{x\left(x-3\right)+5x+1}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}\right)\)

\(=\dfrac{x^2+2x-x+1}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}{x^2-3x+5x+1}\)

\(=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)^2}\)

Cách 1: 

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x+1\geq 2\sqrt{x}\Rightarrow A=\frac{3\sqrt{x}}{x+1}\leq \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}$

Vậy $A_{\max}=\frac{3}{2}$

Giá trị này đạt tại $x=1$

Cách 2:

$\frac{2}{3}A=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$

$\Rightarrow 1-\frac{2}{3}A=1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+1}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x+1}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Rightarrow \frac{2}{3}A\leq 1$

$\Rightarrow A\leq \frac{3}{2}$

Vậy $A_{\max}=\frac{3}{2}$. Giá trị này đạt tại $\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1$

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

b: Ta có: \(A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

\(=\dfrac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

c: Ta có: \(x+\sqrt{x}+1>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}>0\forall x\)