Đặt \(t=\dfrac{1}{2004y}\)
Ta có: \(t=\dfrac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}=\dfrac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)
\(=\dfrac{x}{2004}+2+\dfrac{2004}{x}\)
\(=\dfrac{x^2+2004^2}{2004x}+2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số nguyên dương ta có:
\(x^2+2004^2\ge2.2004.x\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+2004^2}{2004x}\ge2\left(2\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=2004\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(t\ge4\)
Vậy giá trị bé nhất của \(t=4\) khi \(x=2004\)
Vậy \(y_{max}=\dfrac{1}{2004t}=\dfrac{1}{8016}\) khi \(x=2004\)
Ta có :
\(y=\dfrac{x}{\left(x+2004\right)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{y}=\dfrac{\left(x+2004\right)^2}{x}=\left(\dfrac{x^2+4008x+2004^2}{x}\right)=x+4008+\dfrac{2004^2}{x}\)
Để y đạt GTLN thì \(\dfrac{1}{y}\) đạt GTNN
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{y}=x+4008+\dfrac{2004^2}{x}\ge4008+4008=8016\)
Vậy Min \(\dfrac{1}{y}=8016\) tại \(x=2014\)
\(\Rightarrow\) Max \(y=\dfrac{1}{8016}\) tại \(x=2014\)
