kẻ AH vuông góc với BC 

đặt AH = h . xét hai tam giác vuông AHB và AHC , ta có :

sin B = \(\frac{AH}{AB}\),   sin C = \(\frac{AH}{AC}\)

do đó \(\frac{sinB}{sinC}=\frac{AH}{AB}\cdot\frac{AC}{AH}=\frac{h}{c}\cdot\frac{b}{h}=\frac{b}{c}\)

suy ra \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

tương tự   \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)

vậy suy ra dpcm

cái đường thẳng cắt tam giác đó mk không bt nó thừ đâu tới, bạn bỏ cái đấy đi nhá

vậy còn câu b

a, ( Định lý Sin)

b, Áp dụng T/C tỉ lệ thức

Xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c\)

Lời giải:

Kẻ \(BE\perp AC(E\in AC)\)

Khi đó \(\sin A=\frac{BE}{c}\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{ac}{BE}\)

Mặt khác, \(S_{ABC}=\frac{BE.b}{2}\Rightarrow BE=\frac{2S_{ABC}}{b}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\). Hoàn toàn tương tự với \(\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}\) ta có:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\) (đpcm)

Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của BC, ta có:

\(OD\perp BC\)

\(OB=R;BD=\dfrac{1}{2}a\)

\(\widehat{BOD}=\widehat{A}\) (A là góc nội tiếp chắn cung BC, Ở là góc tâm chắn \(\dfrac{1}{2}\) cung BC)

Trong tam giác vuông DOB ta có:

\(sin\left(DOB\right)=\dfrac{BD}{OB}\)

\(\Rightarrow sinA=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{R}\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=2R\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)

Kẻ AH, BE là đường cao của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(\sin B=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AH}{c}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\(\Rightarrow AH=c.\sin B\) (1)

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

\(\sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AH}{b}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\(\Rightarrow AH=b.\sin C\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow c.\sin B=b.\sin C\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}\) (3)

Xét tam giác ABE vuông tại E có:

\(\sin A=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{c}\) (tỉ số lượng giác)

\(\Rightarrow BE=c.\sin A\) (4)

Xét tam giác BEC vuông tại E có:

\(\sin C=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BE}{a}\) (tỉ số lượng giác)

\(\Rightarrow BE=a.\sin C\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow c.\sin A=a.\sin C\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}\) (6)

Từ (3) và (6) \(\Rightarrow\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)

1)

Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>ĐPCM

b: \(\cos30^0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

1.

\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)

\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)

Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

\(sinC=\dfrac{AH}{AC}\)

\(sinB=\dfrac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{sinB}{sinC}=\dfrac{\dfrac{AH}{AB}}{\dfrac{AH}{AC}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\left(1\right)\)

Kẻ đường cao CE của tam giác ABC rồi CMTT ta được:

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm