\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b}{2ab}\\ \Rightarrow ac+bc=2ab\)

Giả sử \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\Rightarrow ac-ab=ab-bc\Rightarrow ac+bc=2ab\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)

\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b}{2ab}\)

\(\Leftrightarrow2ab=c\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+ab=ca+cb\)

\(\Leftrightarrow ab-cb=ca-ab\)

\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$\frac{\mathrm{a/}}{b}=\frac{\mathrm{b/}}{c}=\frac{\mathrm{c/}}{a}=\frac{a+b+\mathrm{c/}}{}$$\frac{b+c+a}{}=1$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{a/}}{b}=\frac{\mathrm{b/}}{c}=\frac{\mathrm{c/}}{a}=1$

=> a = b = c = 2003

Vậy b = 2003; c = 2003

a, Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
$\frac{\mathrm{a/}}{b}=\frac{\mathrm{b/}}{c}=\frac{\mathrm{c/}}{a}=\frac{a+b+\mathrm{c/}}{}$$\frac{b+c+a}{}=1$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{a/}}{b}=\frac{\mathrm{b/}}{c}=\frac{\mathrm{c/}}{a}=1$

=> a = b = c = 2003

Vậy b = 2003; c = 2003

Câu 1 

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\left(\frac{a}{b}+1\right)=\left(\frac{c}{d}+1\right)\left(=\right)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)

=> ĐPCM

Câu 2

Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=>\left(\frac{b}{a}+1\right)=\left(\frac{d}{c}+1\right)\left(=\right)\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}=>\frac{a}{b+a}=\frac{c}{d+c}\)

=> ĐPCM

Câu 3

Câu 3

Ta có \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(=) (a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)(=)ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd(=)-ad+bc=ad-bc(=) bc+bc=ad+ad(=)2bc=2ad(=)bc=ad=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

=> ĐPCM

Câu 4 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(=>\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Ta có \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)\)

Lại có \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+c^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Mày là thằng anh tuấn lớp 7c trường THCS yên lập đúng ko 

\(a^2=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

Do \(a^2=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{a}=k\Rightarrow\begin{cases}a=b.k\\c=a.k\end{cases}\)

Ta có:

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{b.k+b}{b.k-b}=\frac{b.\left(k+1\right)}{b.\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(1\right)\)

\(\frac{c+a}{c-a}=\frac{a.k+a}{a.k-a}=\frac{a.\left(k+1\right)}{a.\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\left(đpcm\right)\)

ta có :a^2=bc

⇒a.a=bc

⇒a/b=c/a

⇒a/c=b/a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau a/c=b/a=a+b/c+a=a-b/c-a

⇒a+b/c+a=a-b/c-a

⇒a+b/a-b=c+a/c-a(điều phải chứng minh)