Chọn C

Dựa vào định nghĩa mệnh đề 1 sai và mệnh đề 2, 3, 4 đúng.

Ta có d: 4x + 2y = −5 ⇔ y = − 4 x − 5 2 và d’: 2x – y = −1 ⇔ y = 2x + 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’:

− 4 x − 5 2 = 2 x + 1 ⇔ −4x – 5 = 4x + 2 ⇔ 8x = −7 ⇔ x = − 7 8

⇒ y = 2 x + 1 = 2. − 7 8 + 1 = − 3 4

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là − 7 8 ; − 3 4

Suy ra nghiệm của hệ phương trình 4 x + 2 y = − 5 2 x − y = − 1 là x 0 ;   y 0 = − 7 8 ; − 3 4

Từ đó x 0. y 0 = − 7 8 . − 3 4 = 21 32

Đáp án: A

Ta có 

x − y = 5 3 x + 2 y = 18 ⇔ x = y + 5 3. y + 5 + 2 y = 18 ⇔ x = y + 5 3 y + 15 + 2 y = 18 ⇔ x = y + 5 5 y = 3

⇔ y = 3 5 x = 5 + 3 5 ⇔ x = 28 5 y = 3 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x ;   y = 28 5 ; 3 5 ⇒ x . y   = 84 25

Đáp án: B

Ta có d: −2x + y = 3 ⇔ y = 2x + 3 và d’: x + y = 5 ⇔ y = 5 – x

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’: 2x + 3 = 5 – x ⇔ x = 2 3

⇒ y = 5 – x = 5 − 2 3 = 13 3

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là 2 3 ; 13 3

Suy ra nghiệm của hệ phương trình − 2 x + y = 3 x + y = 5 là 2 3 ; 13 3

Từ đó y 0 – x 0 = 13 3 − 2 3 = 11 3

Đáp án: A

ĐKXĐ: \(m\ne-\dfrac{1}{3}\)

a) Để (P) đi qua điểm \(E\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\) thì

Thay \(x=\dfrac{1}{2}\)và \(y=\dfrac{1}{4}\) vào hàm số \(y=\left(3m+1\right)x^2\), ta được:

\(\left(3m+1\right)\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow3m+1=1\)

\(\Leftrightarrow3m=0\)

hay m=0(thỏa ĐK)

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=2\\-4x+3y=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12x-16y=8\\-12x+9y=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7y=-7\\3x-4y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\3x=2+4y=2+4=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: F(2;1)

Để (P) đi qua điểm F(2;1) thì 

Thay x=2 và y=1 vào hàm số \(y=\left(3m+1\right)x^2\), ta được:

\(\left(3m+1\right)\cdot4=1\)

\(\Leftrightarrow3m+1=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow3m=-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{4}:3=\dfrac{-3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{-1}{4}\)(thỏa ĐK)

Chọn D.

Gọi 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:

Dấu “=” xảy ra khi 

=> M(-2;0)

Suy ra 

2 x + m y = 1 m x + 2 y = 1 ⇔ y = 1 − m x 2 2 x + m 1 − m x 2 = 1 ⇔ y = 1 − m x 2 4 − m 2 x = 2 − m ⇔ y = 1 − m x 2 2 − m 2 + m x = 2 − m

Nếu m = 2 ⇒ 0x = 0 hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = − 2 ⇒ 0x = 4 hệ phương trình vô nghiệm

Nếu m ≠ ± 2 ⇒ ( 2   +   m ) x   =   1   x = 1 2 + m ⇒ y = 1 2 + m ⇒ M 1 2 + m ; 1 2 + m    

Nhận thấy: M có tọa độ thỏa mãn tung độ = hoành độ

 M nằm trên đường thẳng (d): x = y

Đáp án:C

Phương trình hoành độ giao điểm: 
\(mx_0+m=\dfrac{-1}{m}x_0+\dfrac{1}{m}\) (ĐK: \(m\ne0\))

\(m^2x_0+m^2=-x_0+1\)

\(x_0\left(m^2+1\right)=1-m^2\)

\(x_0=\dfrac{1-m^2}{m^2+1}\) (1)

Mà theo (d1): \(y_0=mx_0+m\) 

Suy ra: \(y_0=m.\dfrac{1-m^2}{m^2+1}+m\)
\(y_0=\dfrac{m-m^3+m^3+m}{m^2+1}\)

\(y_0=\dfrac{2m}{m^2+1}\) (2)

Thế (1) và (2) vào T ta được: 
\(T=\left(\dfrac{1-m^2}{m^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{2m}{m^2+1}\right)^2\)

\(T=\dfrac{m^4-2m^2+1+4m^2}{m^4+2m^2+1}\)
\(T=1\)