Bài 2: 

Ta có: AM=1/2BC

nên AM=BM=CM

Xét ΔMAB có MA=MB

nên ΔMAB cân tại M

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{B}\)

Xét ΔMAC có MA=MC

nên ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)

Xét ΔBAC có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{MAC}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

hay ΔABC vuông tại A

a)Tam giác ABD vuông tại D có BD = AB.cos B

Tam giác BCE vuông tại E có CE=BC.cos C

Tam giác CÀ vuông tại F có AF=CA.cos A

Suy ra : \(AF.BD.CE=AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC\)

b) Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ACF\) có :

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{CAF}\left(gt\right)\)

nên \(\Delta ABE\) đồng dạng \(\Delta ACF\)(gg)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)(1)

Lại có \(\widehat{FAE}=\widehat{CAB}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AFE\)đồng dạng\(\Delta ACB\)(cgc)

\(\Rightarrow\frac{S_{AFE}}{S_{ACB}}=\frac{AE^2}{AB^2}=\frac{S_{AFE}}{144}\)(*)

\(\Delta ABE\)vuông tại E có\(\widehat{BAE}=60^0\Rightarrow\widehat{ABE}=30^o\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{AE^2}{AB^2}=\frac{1}{4}\)

Thay vào (*) ta có \(\frac{S_{AFE}}{144}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{AFE}=36\)

\(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\)

Xét tam giác ADE và tam giác ABC có : 

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) \(\left(=\cos\widehat{A}\right)\)

\(\widehat{A}\) là góc chung 

Do đó : \(\Delta ADE~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

Mà tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên 

\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2=\cos^2\widehat{A}\)\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ( đpcm ) 

làm tạm 1 câu :v 

\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.1=S_{ABC}\left(\sin^2\widehat{A}+\cos^2\widehat{A}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ADE}+S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}+S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\)

\(\Leftrightarrow\)\(S_{BCDE}=S_{ABC}.\sin^2\widehat{A}\) ( do \(S_{ADE}=S_{ABC}.\cos^2\widehat{A}\) ) 

à anh bỏ cái dòng đầu \(\cos^2\widehat{A}=\frac{AE^2}{AC^2}=\frac{AD^2}{AB^2}\) ở câu a) đi nhé, quên xoá >_< 

Ta có: S_AED = 1/₁₄S_ABC => ED = 1/₁₄BC

SAFD = 7/₅₀S_ABC => FD = 7/₅₀BC

=> EC = ED + DC = 1/₁₄BC + 1/₂BC = 4/₇BC và EB = BC - EC = 3/₇BC

=> EB/_EC = 3/₄ => AB/_AC = 3/₄ (= EB/_EC, theo tính chất đường phân giác trong tam giác)

Hơn nữa S_ABF = S_ABD - SAFD = 1/₂S_ABC - 7/₅₀S_ABC = 9/₂₅S_ABC

S_ACF = S_ACD + SAFD = 1/₂S_ABC + 7/₅₀S_ABC = 16/₂₅S_ABC

=> S_ABF/S_ACF = 9/₁₆ => FM/_FN = 3/₄ (với M, N là các chân đường cao hạ từ F xuống AB và AC)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC

Các tam giác ∆ABF và ∆AFC vuông tại F => FI = 1/₂AB, FJ = 1/₂AC => FI/_FJ = AB/_AC = 3/₄

Từ đó FM/_FN = FI/_FJ => ∆MIF ~ ∆NJF (ch - cgv) => ^MIF = ^NJF

Mà ∆IBF cân tại I, ∆AJF cân tại J

=> ^IFB = ^FAJ            (1)

∆IAF cân tại I => ^IFA = ^IAF                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^IAF + ^FAJ = ^IFA + ^IFB = 90⁰ => ^BAC = 90⁰.

a) \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90o\) => tứ giác BFEC nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC;}\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)=> \(\Delta AEF~\Delta ABC\)

S_AEF = \(\frac{1}{2}AE.AF.sinA\); S_ABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AF}{AB.AC}\)=cos²A   (cosA = \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\))

b) làm tương tự câu a ta được S_BFD=cos²B.S_ABC; S_CED=cos²C.S_ABC

_=> S_DEF =S_ABC-S_AEF-S_BFD-S_CED = (1-cos²A-cos²B-cos²C)S_ABC