tìm a,b,c thuộc N biết
a) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
b) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{3}\)
1/Cmr các tổng sau không là số nguyên:
a) \(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{n}\) (n thuộc N , n lớn hơn hoặc bằng 2)
b) \(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{2n+1}\) (n thuộc N , n lớn hơn hoặc bằng 1)
2.Tính giá trị của biểu thức sau, biết rằng a+b+c=0 :
\(A=\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)\)
3.Cmr nếu \(\left(a^2-bc\right)\left(b-abc\right)=\left(b^2-ac\right)\left(a-abc\right)\) và các số a,b,c,a-b khác 0 thì \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+b+c\)
Cho các số a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN
a, \(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)
b, \(P=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)
c, \(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\)
Với cả 3 phần thì dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1.
a) \(\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\)
(Cosi) \(\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)
Tương tự : \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(CS\right)\left(a+b+c\right)-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\dfrac{3^2}{6}=\dfrac{3}{2}\)
b) \(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge\left(CS\right)1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)
Tương tự : \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2};\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
c)\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\left(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Tìm GTLN của A = \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\)
Áp dụng bđt Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Áp dụng, thay vào A, ta có:
\(A\le\text{Σ}\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "="⇔\(a=b=c=1\)
Bài 1: CMR:
\(a,\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(b,\dfrac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\ge1\) với a+b+c=3
Bài 2: \(a,b,c\in N,a+b+c=2021\)
Tìm GTNN \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
Bài 1:
a) Áp dụng bđt Cô - si:
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{b}\)
Tương tự với 2 phân thức còn lại của vế trái rồi cộng lại, ta có:
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)
=> đpcm
Bài dù a + b + c = 2021 hay 1 số bất kì thì bđt luôn \(\ge\dfrac{3}{2}\). Bạn có thể tham khảo bđt Nesbitt
Bài 2:
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(=\dfrac{2021-\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{2021-\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{2021-\left(a+b\right)}{a+b}\)
\(=2021\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Svacxo, ta có
\(P\) ≥ \(\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu"=" ⇔ ...
Sau khi đã đi tham khảo 7749 người thì đã cho ra một kết quả:v
Bài 2. \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(P=\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1+\dfrac{c}{a+b}+1-3\)
\(P=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(P=\dfrac{(2a+2b+3c)( \dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b})}{2}-3 ≥ \dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu `"="` xảy ra:
\(\Leftrightarrow \begin{cases} a=b=c\\ a+b+c=2021 \end{cases} \)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
Vậy \(min \) \(P=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
Cho 3 số thực a,b,c thõa : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
C/m : \(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0.\)
Cm bài toán tổng quát :
giả sử a,b,c là các số thực thõa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}.\)
C/M : \(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}\forall n\in N.\)
Bài toán tổng quát: Đề này n lẻ mới đúng nhé
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac+bc+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{ab\left(ac+bc+c^2\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Nếu \(a=-b\Rightarrow a^n=-b^n\) và \(\dfrac{1}{a^n}=\dfrac{-1}{b^n}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{c^n}\)
\(\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}=\dfrac{1}{c^n}\)
VT = VP => ĐPCM
Còn ý còn lại thì dựa trên bài này mà biến đổi một tí là ra
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:
1, \(\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a-b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^n}\ge\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\)
2, \(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\ge4^n\left[\dfrac{1}{\left(2a+b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a+2b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a+b+2c\right)^n}\right]\)
Cho a, b, c > 0 và \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{3}\) .
Tìm MAX : A= \(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\)
a,Tìm x,y,z biết: \(\dfrac{y+z+1}{x}\)=\(\dfrac{x+z+2}{y}\)=\(\dfrac{x+y-3}{z}\)=\(\dfrac{1}{x+y+z}\)
b,Cho \(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{b}{c}\)=\(\dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng: (\(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\))3=\(\dfrac{a}{d}\)
c,Cho \(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{c}{d}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{5a+3b}{5c+3d}\)=\(\dfrac{5a-3b}{5c-3d}\)
d,Cho \(\dfrac{3x-2y}{4}\)=\(\dfrac{2z-4x}{3}\)=\(\dfrac{4y-3z}{2}\).Chứng minh rằng: \(\dfrac{x}{2}\)=\(\dfrac{y}{3}\)=\(\dfrac{z}{4}\)
b/ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{d}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)
=> \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\left(\dfrac{a+b+c}{c+d+b}\right)^3\) (2)Từ (1) và (2)=>đpcm
Tìm cac số a,b,c,d Thuộc N,biết: \(\dfrac{30}{43}=\dfrac{1}{a+\dfrac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d}}}}\)
Có \(\dfrac{30}{43}=\dfrac{1}{\dfrac{43}{30}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{13}{30}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{30}{13}}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{4}{13}}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{13}{4}}}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4}}}}\)
Vậy a=1; b=2 ; c=3 ; d=4
ta thấy : \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{1}{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{30}{43}\) = \(\dfrac{1}{\dfrac{43}{30}}\)
= \(\dfrac{1}{1+\dfrac{13}{30}}\)
= \(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{30}{13}}}\)
= \(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{2}{15}}}\)
= \(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{15}{2}}}}\)
=\(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{2}}}}\)
Vậy a = 1; b = 2; c = 7; d = 4