Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dsadasd

Cho các số a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN

a, \(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)

b, \(P=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)

c, \(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\)

HT2k02
1 tháng 4 2021 lúc 20:32

Với cả 3 phần thì dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1.

a) \(\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\)

(Cosi) \(\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(CS\right)\left(a+b+c\right)-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\dfrac{3^2}{6}=\dfrac{3}{2}\)

b) \(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge\left(CS\right)1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2};\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

c)\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\left(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết