Chứng minh rằng biểu thức sau được viết dưới dạng tổng bình phương của hai biểu thức:
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x-2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x-2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
\(=x^2+2\left(x^2+2x+1\right)+3\left(x^2-4x+4\right)+4\left(x^2+6x+9\right)\)
\(=x^2+2x^2+4x+2+3x^2-12x+12+4x^2+24x+36\)
\(=10x^2+16x+50\)
Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của 2 biểu thức :
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
Ta có :
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
\(=x^2+2\left(x^2+2+1\right)+3\left(x^2+4x+4\right)+4\left(x^2+6x+9\right)\)
\(=x^2+2x^2+4x+2+3x^2+12x+12+4x^2+24x+36\)
\(=10x^2+40x+50\)
\(=\left(x^2+10x+25\right)+\left(9x^2+30x+25\right)\)
\(=\left(x+5\right)^2+\left(3x+5\right)^2\)
Vậy biểu thức trên viết được dưới dạng tổng các bình phương của 2 biểu thức(đpcm)
Chứng minh các biểu thức sau viết đc dưới dạng tổng các bình phương
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
\(=x^2+2\left(x^2+2x+1\right)+3\left(x^2+4x+4\right)+4\left(x^2+6x+9\right)\)
\(=10x^2+40x+50\)
\(=\left(x^2+10x+25\right)+\left(9x^2+30x+25\right)\)
\(=\left(x+5\right)^2+\left(3x+5\right)^2\)
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
\(=x^2+2\left(x^2+2x+1\right)+3\left(x^2+4x+4\right)+4\left(x^2+6x+9\right)\)
\(=x^2+2x^2+4x+2+3x^2+12x+12+4x^2+24x+36\)
\(=10x^2+40x+50\)
\(=\left(9x^2+30x+25\right)+\left(x^2+10x+25\right)\)
\(=\left(3x+2\right)^2+\left(x+5^2\right)\)
Bài 1: Tính
\(A=3\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)\left(2^{64}+1\right)\)
Bài 2 : Chứng minh biểu thức sau viết được dưới dạng tổng của 2 bình phương
\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
Hãy viết biểu thức sau dưới dạng:
a)Tổng bình phương của hai biểu thức:
M=\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
b)Tổng bình phương của ba biểu thức:
N=\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)
P=\(2\left(a-b\right)\left(c-b\right)+2\left(b-a\right)\left(c-a\right)+2\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
1.cho \(x+y=a+b\)
\(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(chứngminh\)
\(x^3+y^3=a^3+b^3\)
2.chứng minh rằng
biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương cưa 2 biểu thức
\(x^2+2\left(x+1\right)+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
1)CMR: Biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của 2 biểu thức
\(A=x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
2) Viết các biểu thức sau dưới dạng 3 bình phương
a) \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)
b)\(2\left(a-b\right)\left(c-d\right)+2\left(b-a\right)\left(c-a\right)+2\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
Bài 2 :
a ) \(A=\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)
\(A=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+b^2+c^2\)
\(A=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2+2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)\)
\(A=\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\)
Hãy viết biểu thức sau dưới dạng:
a)Tổng bình phương của hai biểu thức:
M=\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
b)Tổng bình phương của ba biểu thức:
N=\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)
P=\(2\left(a-b\right)\left(c-b\right)+2\left(b-a\right)\left(c-a\right)+2\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
1/ Tìm GTNN của:
a/ \(f\left(x\right)=5x^2-2x+1\)
b/ \(P\left(x\right)=3x^2+x+7\)
c/ \(Q\left(x\right)=5x^2-3x-3\)
2/ Tìm GTLN của:
a/ \(f\left(x\right)=-3x^2+x-2\)
b/ \(P\left(x\right)=-x^2-7x+1\)
c/ \(Q\left(x\right)=-2x^2+x-8\)
3/ Cho \(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\xy+yz+xz=0\end{cases}}\). CMR: x = y = z
4/ Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:\(x^2+2\left(x+1\right)^2+3\left(x+2\right)^2+4\left(x+3\right)^2\)
đề dài v~
1.
a) \(f\left(x\right)=5x^2-2x+1\)
\(5f\left(x\right)=25x^2-10x+5\)
\(5f\left(x\right)=\left(25x^2-10x+1\right)+4\)
\(5f\left(x\right)=\left(5x-1\right)^2+4\)
Mà \(\left(5x-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow5f\left(x\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)\ge\frac{4}{5}\)
Dấu " = " xảy ra khi :
\(5x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)
Vậy ....
b) \(P\left(x\right)=3x^2+x+7\)
\(3P\left(x\right)=9x^2+3x+21\)
\(3P\left(x\right)=\left(9x^2+3x+\frac{1}{4}\right)+\frac{83}{4}\)
\(3P\left(x\right)=\left(3x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{83}{4}\)
Mà \(\left(3x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow3P\left(x\right)\ge\frac{83}{4}\)
\(\Leftrightarrow P\left(x\right)\ge\frac{83}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(3x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}\)
Vậy ...
c) \(Q\left(x\right)=5x^2-3x-3\)
\(5Q\left(x\right)=25x^2-15x-15\)
\(\Leftrightarrow5Q\left(x\right)=\left(25x^2-15x+\frac{9}{4}\right)-\frac{69}{4}\)
\(\Leftrightarrow5Q\left(x\right)=\left(5x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{69}{4}\)
Mà \(\left(5x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow5Q\left(x\right)\ge\frac{-69}{4}\)
\(\Leftrightarrow Q\left(x\right)\ge-\frac{69}{20}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(5x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=0,3\)
Vậy ...
2.
a) \(f\left(x\right)=-3x^2+x-2\)
\(-3f\left(x\right)=9x^2-3x+6\)
\(-3f\left(x\right)=\left(9x^2-3x+\frac{1}{4}\right)+\frac{23}{4}\)
\(-3f\left(x\right)=\left(3x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\)
Mà \(\left(3x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-3f\left(x\right)\ge\frac{23}{4}\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)\le\frac{23}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(3x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\)
Vậy ...
b) \(P\left(x\right)=-x^2-7x+1\)
\(-P\left(x\right)=x^2+7x-1\)
\(-P\left(x\right)=\left(x^2+7x+\frac{49}{4}\right)-\frac{53}{4}\)
\(-P\left(x\right)=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{53}{4}\)
Mà \(\left(x+\frac{7}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-P\left(x\right)\ge-\frac{53}{4}\)
\(\Leftrightarrow P\left(x\right)\le\frac{53}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(x+\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{7}{2}\)
Vậy ...
c) \(Q\left(x\right)=-2x^2+x-8\)
\(-2Q\left(x\right)=4x^2-2x+16\)
\(-2Q\left(x\right)=\left(4x^2-2x+\frac{1}{4}\right)+\frac{63}{4}\)
\(-2Q\left(x\right)=\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{63}{4}\)
Mà : \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-2Q\left(x\right)\ge\frac{63}{4}\)
\(\Leftrightarrow Q\left(x\right)\le-\frac{63}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(2x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
Vậy ...
3/
Ta có x + y + z = 0
<=> (x + y + z)2 = 0
<=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0
<=> x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) = 0
Thay xy + yz + xz = 0 vào BT trên
=> x2 + y2 + z2 = 0
Mà \(x^2\ge0;y^2\ge0;z^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge0\)
=> x = y = z (đpcm)