Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$ và $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường

$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2}; DO=\frac{BD}{2}=\frac{n}{2}$

Xét tam giác $AOD$ vuông tại $O$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{d(O, AD)^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OD^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{(\frac{m}{2})^2}+\frac{1}{(\frac{n}{2})^2}=\frac{4}{m^2}+\frac{4}{n^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$ (đpcm)

Hình vẽ:

qua A kẻ đường thẳng // với DB và giao CB tại K

ta có : tứ giác akbd là hình bình hành (do ak//db,ad//bk)

=>ak=bd=n

ta co: ak//bd

mà bd vuông góc với ac => ak vuông goc với ac

xet tam giac vuong ack co:

\(\frac{1}{ah^2}\)=\(\frac{1}{ac^2}\)+\(\frac{1}{ak^2}\)

hay 1/h^2=1/m^2+1/n^2

Giả sử \(BH\perp AD\)

Gọi  \(O=AC\cap BD\)

Có \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AC.BD=BH.AD\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC.BD=2S_{ABCD}\\BH=\dfrac{S_{ABCD}}{AD}\end{matrix}\right.\)

Có \(\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BD^2}=\dfrac{AC^2+BD^2}{AC^2.BD^2}=\dfrac{4\left(OA^2+OD^2\right)}{\left(2S_{ABCD}\right)^2}\)\(=\dfrac{4AD^2}{4S_{ABCD}}=\dfrac{1}{BH^2}\) 

Vậy \(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BD^2}\)

Kẻ OE,OF,OG,OH lần lượt là đg cao của các tam giác vuông DOC,AOB,AOD,BOC.

Vì OE=OF=OG=OH=h

và:AC=m;OA=OC-->OA=OC=m/2

tg tự với DB=n;DO=DB ta cũng có:

DO=OB=n/2

Xét tam giác vuông AOB (O= 90 độ do hình thoi có 2 đg chéo vuông góc)

và OF là đường cao có:

1/OF² =1/OA^2+1/OB^2

-->1/h^2=1/\(\left(\frac{m}{2}\right)\)^2+1/(n/2)^2                        (1)

CM tương tự vs các tam giác vuông còn lại đều đc kquar như trên đánh số (1),(2),(3),(4)

Cộng (1),(2), (3),(4) ta đc:4/h^2 =16/m^2+16/n^2

Chia cả  2 vế cho 16 ta đc điều phải cm

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác vuông $AHB$, đường cao $HE$:

$EA.EB=HE^2$
Tương tự: $FA.FC=HF^2$

$\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HE^2+HF^2=EF^2(1)$ (định lý Pitago)

Mặt khác: Dễ thấy $HEAF$ là hình chữ nhật do có 3 góc $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90^0$

$\Rightarrow EF=HA$

$\Rightarrow EF^2=HA^2(2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

$AH^2=HB.HC(3)$

Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HB.HC$ (đpcm)

Hình vẽ:

c) Xét ΔABH có BI là đường phân giác

=>\(\dfrac{AB}{BH}\)=\(\dfrac{AI}{IH}\)₍₁₎

Xét ΔABC có BD là đường phân giác

=> \(\dfrac{BC}{AB}\)=\(\dfrac{DC}{AD}\)

Mà \(\dfrac{BC}{AB}\)= \(\dfrac{AB}{BH}\)(cmt)

=>\(\dfrac{DC}{AD}\)=\(\dfrac{AB}{BH}\) ₍₂₎

Từ (1)(2)=>\(\dfrac{AI}{IH}\)=\(\dfrac{DC}{AD}\)