Question

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh hình thoi là h. AC =m;BD=n. Chứng minh: \(\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{4h^2}\)

Answer 1

Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$ và $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường

$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2}; DO=\frac{BD}{2}=\frac{n}{2}$

Xét tam giác $AOD$ vuông tại $O$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{d(O, AD)^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OD^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{(\frac{m}{2})^2}+\frac{1}{(\frac{n}{2})^2}=\frac{4}{m^2}+\frac{4}{n^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: