1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3

= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x  + 3

= 1-x/x + 2x/1-x + 3    >= 2√2 + 3

Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1

2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)

=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y 

= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3

a^2+1 >= 2a              => a/a^2+1 <= 1/2

b^2+2 >= 2√2 b          => b/b^2+2 <= 1/2√2

c^2+3 >= 2√3 c            => c/c^2+3 <= 1/2√3

=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3

Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3

<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3

<=> x=4, y=6, z=2

a) đk: x\(\ge0\);

P = \(\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right].\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

= \(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

b) Để P = \(\dfrac{8}{9}\)

<=> \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{8}{9}\)

<=> \(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{3}\)

<=> \(\dfrac{3\sqrt{x}-2x+2\sqrt{x}-2}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=0\)

<=> \(-2x+5\sqrt{x}-2=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Đặt \(\sqrt{x}=a\) (\(a\ge0\))

P = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}\)

Xét P + \(\dfrac{4}{9}\) = \(\dfrac{4a}{3a^2-3a+3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12a+4a^2-4a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4a^2+8a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4\left(a+1\right)^2}{9\left(a^2-a+1\right)}\ge0\)

Dấu "=" <=> a = -1 (loại)

=> Không tìm được Min của P

Xét P - \(\dfrac{4}{3}\) = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4a-4a^2+4a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4a^2+8a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4\left(a-1\right)^2}{3\left(a^2-a+1\right)}\le0\)

<=> \(P\le\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" <=> a = 1 <=> x = 1 (tm)

a) ĐKXĐ: \(x\ge0\)

b) Ta có: \(P=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\left(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

Ta có: \(P=\dfrac{8}{9}\)

nên \(36\sqrt{x}=27\left(x-\sqrt{x}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow27x-27\sqrt{x}+27-36\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow27x-63\sqrt{x}+27=0\)

*)Maximize : Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT^2\le\left(1+1\right)\left(x+1+y+1\right)=2\left(x+y+2\right)\)

Và \(VP^2=\left(\sqrt{2}\left(x+y\right)\right)^2=2\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\le0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\le0\)

\(\Rightarrow-1\le P=x+y\le2\) 

Khi \(x=y=1\) thì \(P_{Max}=2\)

*)Minimize: Áp dụng BĐT Karamata ta có:

\(VT=\sqrt{2}\left(x+y\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=VP\)

\(\ge\sqrt{0}+\sqrt{x+1+y+1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}\left(x+y\right)\ge\sqrt{x+1+y+1}\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)+2\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)

\(\Rightarrow P=x+y\ge\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)

Khi \(x=\frac{5+\sqrt{17}}{4};y=-1\) thì \(P_{Min}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)

#Vỗ tay coi :))

Thắng -_- ừ, hay lắm :))

mình hơi vô duyên nhưng mà mình mới biết và đăng kí cái này bạn nào cho mình biết cách gửi câu hỏi ko?

Bài này ko khó. Bạn nên tự làm!

Ta có điều kiện \(\hept{\begin{cases}y\ge-6\\x\ge-6\\x+y\ge0\end{cases}}\)

Theo đề bài thì: \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+y+12\right)\)

 \(\Leftrightarrow P^2-2P-24\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4\le P\le6\)

\(\Leftrightarrow-4< P\le6\left(1\right)\)

Ta lại có: 

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

\(\Leftrightarrow P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P+3\right)\left(P-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P\le-3\left(l\right)\\P\ge4\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4\le P\le6\)

Vậy GTNN là \(P=4\)đạt được khi \(\hept{\begin{cases}x=-6\\y=10\end{cases}}or\hept{\begin{cases}x=10\\y=-6\end{cases}}\)

GTLN là \(P=6\) đạt được khi \(x=y=3\)  

Nhầm dấu 1 chỗ. Sửa lại nhé

Ta có điều kiện \(\hept{\begin{cases}y\ge-6\\x\ge-6\\x+y\ge0\end{cases}}\)

Theo đề bài thì: \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+y+12\right)\)

 \(\Leftrightarrow P^2-2P-24\le0\)

\(\Leftrightarrow-4\le P\le6\)

\(\Leftrightarrow-4< P\le6\left(1\right)\)

Ta lại có: 

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

\(\Leftrightarrow P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P+3\right)\left(P-4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P\le-3\left(l\right)\\P\ge4\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4\le P\le6\)

Vậy GTNN là \(P=4\)đạt được khi \(\hept{\begin{cases}x=-6\\y=10\end{cases}}or\hept{\begin{cases}x=10\\y=-6\end{cases}}\)

GTLN là \(P=6\) đạt được khi \(x=y=3\)  

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm. 

tích mình với

ai tích mình

mình tích lại

thanks

Tích mình đi mình tích lại

ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge25\)

\(D=\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{\left(x-2\right)^2+25}}+\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y-25}{\left(y-50\right)^2+1}}\)

Vì x>=1,y>=25 => x-1>=0,y-25>=0 

=> D >= 0

Dấu "=" xảy ra <=> x=1,y=25

Vậy MinD=0 khi x=1,y=25

Ta có: \(\left(x-2\right)^2+25\ge25;\left(y-50\right)^2+1\ge1\)

=>\(\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{\left(x-2\right)^2+25}}\le\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}};\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y-25}{\left(y-50\right)^2+1}}\le\frac{1}{y}\sqrt{y-25}\)

=>\(D\le\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}}+\frac{1}{y}\sqrt{y-25}\)

Vì x>=1 => x-1>=0. Áp dụng bđt cosi với 2 số dương x-1 và 1 ta có:

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

=>\(\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}}\le\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{10}\)

Vì y>=25 => y-25>=0. ÁP dụng bđt cô si cho 2 số dương 25 và y-25 ta có:

\(\sqrt{y-25}=\frac{\sqrt{25\left(y-25\right)}}{5}\le\frac{25+y-25}{2.5}=\frac{y}{10}\)

=>\(\frac{1}{y}\sqrt{y-25}=\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{10}=\frac{1}{10}\)

Suy ra \(D\le\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=2,y=50

Vậy MaxD = 1/5 khi x=2,y=50

Akai Haruma Bonking