Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@tth_new

Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)

thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)

Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:

\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\).

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

2: Điểm rơi... đẹp!

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+4\ge4b\\c^2+9\ge6c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+14\ge2\left(a+2b+3c\right)=28\).

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge14\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 3.

1: Ta có \(y^2\ge6-x+x-2=4\Rightarrow y\ge2\). 

Đẳng thức xảy ra khi x = 6 hoặc x = 2

\(y^2\le2\left(6-x+x-2\right)=8\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = 4.

Bài 1a:

Ta thấy vế trái là số tự nhiên với mọi $x,y\in\mathbb{N}^*$. Do đó $\sqrt{9x^2+16x+32}\in\mathbb{N}^*$

Điều này xảy ra khi \(9x^2+16x+32\) là số chính phương.

Đặt \(9x^2+16x+32=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)

\(\Leftrightarrow 81x^2+144x+288=9t^2\)

\(\Leftrightarrow (9x+8)^2+224=(3t)^2\Leftrightarrow (3t-9x-8)(3t+9x+8)=224\)

Hiển nhiên $3t+9x+8>0; 3t+9x+8>3t-9x-8$ với mọi $x,t\in\mathbb{N}^*$ và $3t+9x+8; 3t-9x-8$ cùng tính chẵn lẻ.

Do đó \((3t+9x+8; 3t-9x-8)=(16;14); (28;8); (56;4); (112;2)\)

Thử các TH trên ta thu được $x=2$ là kết quả duy nhất thỏa mãn

Thay vào PT ban đầu suy ra $y=\frac{-7}{4}$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Bài 1b:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{-1}{3}\)

PT \(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x+1-\sqrt{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x-\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}\right)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0(*)\end{matrix}\right.\)

Xét $(*)$

\(\Leftrightarrow 4x^2+x+4x+1+2-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x(4x+1)+(4x+1)+\frac{2\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow (4x+1)(x+1)+\frac{3(4x+1)}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}=0\)

\(\Leftrightarrow (4x+1)\left[(x+1)+\frac{3}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}\right]=0\)

Với mọi $x\geq \frac{-1}{3}$ dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương. Do đó $4x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{4}$ (thử lại thấy t/m)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{4}\)

Bài 1c:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Xét PT(2):

\(\Leftrightarrow 2y^4(x-3)(5x-2)=3(2-5x)\)

\(\Leftrightarrow (5x-2)[2y^4(x-3)+3]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{2}{5}(\text{loại vì x}\geq \frac{1}{2})\\ 2y^4(x-3)+3=0\end{matrix}\right.\)

Với \(2y^4(x-3)+3=0\Rightarrow 3=2y^4(3-x)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ \sqrt{3}=y^2\sqrt{6-2x}\end{matrix}\right.\)

Thay vào PT(1):

\(y^2\sqrt{2x-1}+y^2\sqrt{6-2x}-5y^2+y^2\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow y^2(\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}-5+\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1})=0\)

Nếu $y^2=0\Rightarrow y=0\Rightarrow 3=2y^4(3-x)=0$ (vô lý)

Nếu \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}-5+\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1}=0\):

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a; \sqrt{6-2x}=b(a,b\geq 0)\) thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-2ab=5\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=\frac{(a+b)^2-5}{2}\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b-5+\frac{(a+b)^2-5}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-15=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-3)(a+b+5)=0\)

Vì $a+b+5\geq 5$ với mọi $a,b\geq 0$ nên $a+b-3=0\Rightarrow a+b=3$

$\Rightarrow ab=\frac{(a+b)^2-5}{2}=2$

Áp dụng định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của $X^2-3X+2=0$

$\Rightarrow (a,b)=(1,2); (2,1)$ $\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy......

Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

ĐKXĐ :\(b^2\le1\Rightarrow\left|b\right|\le1\Rightarrow\left|b\right|=1\) ???

Câu này bác net giải quyết luôn rồi.

Theo đề bài thì

\(\left|b\right|\ge1\)

Theo điều kiện xác định thì

\(1-b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^2\le1\)

\(\Leftrightarrow\left|b\right|\le1\)

Từ đây suy ra được

\(\left|b\right|=1\)

Thế vô tìm được a.

PS: Đề bài kể cũng lạ. Còn câu hình tự làm nhé. Lười không làm đâu.