Đặt b + c - a = x; c + a - b = y; a + b - c = z. (x, y, z > 0)

Ta có \(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{2\left(z+x\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}=\left(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z}\right)+\left(\dfrac{9y}{2z}+\dfrac{2z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{y}{2x}.\dfrac{2x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{2x}.\dfrac{9x}{2z}}+2\sqrt{\dfrac{9y}{2z}.\dfrac{2z}{y}}=2+3+6=11\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(3y=2z=6x\Leftrightarrow3\left(c+a-b\right)=2\left(b+c-a\right)=6\left(a+b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{6};b=\dfrac{2}{3};c=\dfrac{1}{2}\).

`1/a^2+1/b^2+1/c^2<=(a+b+c)/(abc)`
`<=>1/a^2+1/b^2+1/c^2<=1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)`
`<=>2/a^2+2/b^2+2/c^2<=2/(ab)+2/(bc)+2/(ca)`
`<=>1/a^2-2/(ab)+1/b^2+1/b^2-2/(bc)+1/c^2+1/c^2-2/(ac)+1/a^2<=0`
`<=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2<=0`
Mà `(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2>=0`
`=>(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2=0`
`<=>1/a=1/b=1/c`
`<=>a=b=c`
`=>` tam giác này là tam giác đều
`=>hata=hatb=hatc=60^o`

Áp dụng bđt cosi với hai số dương:

\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab}\)     ; \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{bc}\)      ; \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\)  (*)

Theo giả thiết có: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}\)  (2*)

Từ (*), (2*) ,dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác chứa ba cạnh a,b,c thỏa mãn gt là tam giác đều

=> Số đo các góc là 60 độ

Tham khảo:

Tìm GTNN của M=1/1-2(ab+bc+ac)+1/abc - thu phương

1.

\(M=\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\)

\(M\ge\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}=\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(M\ge\dfrac{9}{1-2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=9+21=30\)

2.

a. Hai tam giác vuông BCN và ACM đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CN}{CM}\Rightarrow CN.AC=BC.CM\) (1)

Hai tam giác vuông ABM và CBP đồng dạng (chung góc B) (1')

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BM}{BP}\Rightarrow AB.BP=BC.BM\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(AB.BP+AC.CN=BC\left(CM+BM\right)=BC^2\)

b.

Từ (1') \(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BCP}\Rightarrow\) hai tam giác vuông ABM và CHM đồng dạng

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{BM}{HM}\Rightarrow AM.HM=BM.CM\le\dfrac{1}{4}\left(BM+CM\right)^2=\dfrac{1}{4}BC^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(BM=CM\) hay tam giác ABC cân tại A

\(\Rightarrow\) A nằm trên trung trực BC

Câu c nhìn là thấy đề sai, \(\Leftrightarrow S_1S_2\le\dfrac{1}{64}\) chỉ cần tam giác ABC đủ lớn thì \(S_1;S_2>1\) BĐT này sẽ sai ngay

?????

Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-a-b-c-la-do-dai-ba-canh-cua-mot-tam-giac-va-thoa-man-he-thuc-a-b-c-1-cmr-a2-b2-c2-12.139261258302

áp dụng Hê rông nha mn❤

Ta có :

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{2}{c}\)

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{p-a+p-c}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{p-c+p-a}=\dfrac{2}{b}\)

Cộng từng về ta có đpcm

Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)

Mà \(2p=a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\)

Tương tự \(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

bạn chứng minh :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ( chứng minh tương tự )

ta có: \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}\)

mặt khác : \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow2p=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{a+b+c-a-b}=\dfrac{4}{c}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\left(2\right)\)

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{b}\left(3\right)\)

Cộng từng vế (1),(2),(3), ta có:

\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)