? cho a,b,c tìm x,y,z là seo?

chắc đề cho x+y+z=1

\(=>\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=>\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

làm tương tự với \(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}},\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)

\(=>A\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=`/3

a.

\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

b.

\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)

\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lâu lắm r mới quay lại web :))

Xét : \(2A=\dfrac{2\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\dfrac{2\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho các số dương , ta có :

\(\dfrac{2\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\dfrac{x+2\sqrt{yz}-x}{x+2\sqrt{yz}}=1-\dfrac{x}{x+2\sqrt{yz}}\le1-\dfrac{x}{x+x+z}\left(1\right)\)

\(\dfrac{2\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}=\dfrac{y+2\sqrt{xz}-y}{y+2\sqrt{xz}}=1-\dfrac{y}{y+2\sqrt{xz}}\le1-\dfrac{y}{x+y+z}\left(2\right)\)

\(\dfrac{2\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\dfrac{z+2\sqrt{xy}-z}{z+2\sqrt{xy}}=1-\dfrac{z}{z+2\sqrt{xy}}\le1-\dfrac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)

Cộng từng vế của \(\left(1;2;3\right)\) ta được :

\(2A\le1+1+1-\left(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}\right)=2\)

\(\Leftrightarrow A\le1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow A_{Max}=1\Leftrightarrow x=y=z\)

 Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)

 \(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)

 \(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:

 \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Ta có đpcm.

1) Ta c/m BĐT sau:

Với a, b > 0 thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì a, b > 0)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Như vậy ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\\y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\\z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó \(VT\ge\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{xyz+yz\left(y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{xyz+zx\left(z+x\right)}}{zx}\)

\(=\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)

\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

1) Lợi dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương, ta được:

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)

Cộng từng vế các BĐT trên. ta được:

\(VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

Tiếp tục lợi dụng AM-GM, ta được

\(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}.\dfrac{1}{\sqrt{yz}}.\dfrac{1}{\sqrt{xz}}}=3\)

Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

2) \(P=4a+3b+\dfrac{c^3}{\left(a-b\right)b}=\left(a-b\right)+b+\dfrac{c^3}{\left(a-b\right)b}+3\left(a+b\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương, ta có

\(P\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right).b.\dfrac{c^3}{\left(a-b\right).b}}+3\left(a+b\right)=3\left(a+b+c\right)=12\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2;b=c=1

Min_P=12 khi và chỉ khi a=2;b=c=1