Đặt \(D=\dfrac{\text{x}^2+a}{xy+a}\)
\(E=\dfrac{y^2+b}{yz+b}\)
\(F=\dfrac{z^2+c}{xz+c}\)
Dự đoán: Đẳng thức xảy ra khi: D=E=F=1
Áp dụng bđt AM_GM :
||bđt có được dùng ngược lại giống như đl Ta-let/ Py-ta-go ko??||
\(\dfrac{x^2+a}{yz+b}\cdot\dfrac{y^2+b}{xz+c}\cdot\dfrac{z^2+c}{xy+a}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\text{x}^2+a}{xy+a}\cdot\dfrac{y^2+b}{yz+b}\cdot\dfrac{z^2+c}{xz+c}\ge1\) (*)
*Nhận xét: Giá trị của VT phụ thuộc vào x,y,z .
Trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số >/ các số còn lại => trong 3 đa thức D, E, F có ít nhất 1 đa thức >/ 1 với mọi x,y,z,a,b,c dương
\(\Rightarrow\) (*) đúng
Hay \(\dfrac{x^2+a}{yz+b}+\dfrac{y^2+b}{xz+c}+\dfrac{z^2+c}{xy+a}\ge3\) \(\forall x,y,z,a,b,c>0\)
Dấu "=" xảy ra khi D=E=F=1 , hay x=y=z
|| kết luận viết như nào đây........||
----------------------
Không biết có đúng không nữa, sai sót gì sư phụ góp ý cho con nhá..... nhớ góp ý nhẹ nhẹ thôi không là broken heart T_T!! Cảm ơn ạ
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sum\dfrac{x^2+a}{yz+b}\ge\sum\dfrac{2\left(x^2+a\right)}{y^2+z^2+2b}\)
Đặt \(x^2+y^2+y^2+a+b+c=m\)(m>0)
Áp dụng BĐT chebyshev:
\(\left[\dfrac{2\left(x^2+a\right)}{y^2+z^2+2b}+\dfrac{2\left(y^2+b\right)}{x^2+z^2+2c}+\dfrac{2\left(z^2+c\right)}{x^2+y^2+2a}\right]\left[\left(y^2+z^2+2b\right)+\left(x^2+z^2+2c\right)+\left(x^2+y^2+2a\right)\right]\ge6\left(x^2+y^2+z^2+a+b+c\right)\)
hay \(VT.2m\ge6m\Leftrightarrow VT\ge3\)
Điều này đúng khi ta có thứ tự sắp biến sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+a}{y^2+z^2+2b}\ge\dfrac{y^2+b}{x^2+z^2+2c}\ge\dfrac{z^2+c}{x^2+y^2+2a}\\y^2+z^2+2b\le x^2+z^2+2c\le x^2+y^2+2a\end{matrix}\right.\)
Thật vậy, giả sử \(x\ge y\ge z\) và \(a=max\left\{a,b,c\right\}\) thì điều trên đúng
P/s : dòng cuối em chém đó, sir giải quyết nốt đi,mắc khúc cuối :v
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(\dfrac{x^2+a}{yz+b}+\dfrac{y^2+b}{xz+c}+\dfrac{z^2+c}{xy+a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x^2+a\right)\left(y^2+b^2\right)\left(z^2+c\right)}{\left(yz+b\right)\left(xz+c\right)\left(xy+a\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+a\right)\left(yz+b\right)\left(xz+c\right)}{\left(yz+b\right)\left(xz+b\right)\left(xz+c\right)}}=3\sqrt[3]{1}=3\)
Dấu " = " khi \(a=b=c=x=y=z=1\)
Vậy...
Tick gì mà tick hoài!! Cần soi bài thì không soi 
!!!!! Bài thì đang vướng nghi án SAI, mà cứ tick tick tick tick tick !!!
