Có: 1n + 2n + 3n + 4n

= (1 + 2 + 3 + 4)n

= 10n

Vì 10 ⋮ 5 nên 10n ⋮ 5 (n ∈ N)

Vậy để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 thì n ∈ N.

Để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho tổng này chia hết cho 5.

Ta có: 1n + 2n + 3n + 4n = 10n

Để 10n chia hết cho 5, ta cần n chia hết cho 5.

Vậy, số tự nhiên n cần tìm là các số chia hết cho 5.

 ⇒ Các số tự nhiên n chia hết cho 5.

--thodagbun--

Lời giải:
$A=1^n+2^n+3^n+4^n=1+2^n+3^n+4^n$

Nếu $n=4k$ thì:

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}$

$=1+16^k+81^k+16^{2k}$

$\equiv 1+1+1+1\equiv 4\pmod 5$

---------------

Nếu $n=4k+1$

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}$

$=1+16^k.2+81^k.3+16^{2k}.4$

$\equiv 1+1^k.2+1^k.3+1^k.4\equiv 10\equiv 0\pmod 5$

Nếu $n=4k+2$

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}$

$=1+16^k.2^2+81^k.3^2+16^{2k}.4^2$

$\equiv 1+1^k.2^2+1^k.3^2+1^{2k}.4^2\equiv 30\equiv 0\pmod 5$

Nếu $n=4k+3$

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}$

$=1+16^k.2^3+81^k.3^3+16^{2k}.4^3$

$\equiv 1+1^k.2^3+1^k.3^3+1^{2k}.4^3\equiv 100\equiv 0\pmod 5$

Vậy chỉ cần $n$ không chia hết cho $4$ thì $1^n+2^n+3^n+4^n$ sẽ chia hết cho $5$

11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

4n + 15 chia hết cho 2n + 3

2 x (2n + 3 ) + 9 chia hết cho 2n + 3 (1)

Vì 2n + 3 chia hết cho 2n+ 3

=> 2 x (2n + 3) chia hết 2n+ 3 ( tính chất chia hết của 1 tích )  (2)

Từ (1) và (2) => 9 chia hết cho 2n + 3

=> 2n + 3 thuộc Ư ( 9) = { 1;3;9}

Ta có bảng sau

 Vậy n thuộc { 0;3}

1) 3n ⋮ 2n - 5

=> 2(3n) - 3(2n - 5)  ⋮ 2n - 5

=> 6n - 6n + 15 ⋮ 2n - 5

=> 15 ⋮ 2n - 5

=> 2n-5 ϵ Ư(15)

Ư(15) = {1;-1;3;-3;5;-5;15;-15}

=> n={3;2;4 ;1;5;0;10;-5}

nhớ nha

1) 3n ⋮ 2n - 5

=> 2(3n) - 3(2n - 5)  ⋮ 2n - 5

=> 6n - 6n + 15 ⋮ 2n - 5

=> 15 ⋮ 2n - 5

=> 2n-5 ϵ Ư(15)

Ư(15) = {1;-1;3;-3;5;-5;15;-15}

=> n={3;2;4 ;1;5;0;10;-5}

a: =>4n-2-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;2\right\}\)

b: =>6n-4+11 chia hết cho 3n-2

=>\(3n-2\in\left\{1;-1;11;-11\right\}\)

=>\(n\in\left\{1\right\}\)

a, 

Ta có: 4n-5 chia hết cho 2n-1

=>4n-2-3 chia hết cho 2n-1

=>2.(2n-1)-3 chia hết cho 2n-1

=>3 chia hết cho 2n-1

=>2n-1=Ư(3)=(-1,-3,1,3)

=>2n=(0,-2,2,4)

=>n=(0,-1,1,2)

Vậy n=0,-1,1,2

b, 

Vì 3n chia hết cho 5-2n 
=>2.3n+3(5-2n)=15 chia hết cho 5-2n 
=>5-2n thuộc Ư(15)={±1;±3;±5;±15} 
Mặt khác:5-2n≤5(do n≥0) 
=>5-2n thuộc {-15;-5;-3;-1;1;3;5} 
=>n thuộc {10;5;4;3;2;1;0}