\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)  ( 1 )

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)     ( 2 )

\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 ) 

( Dấu " = " xảy ra khi x = y ) 

Chúc bạn học tốt !!!

cho x+y=2 và phải chứng minh rằng xy1 thì xy1=bao nhiêu thì mới chứng minh đc chứ

đề bài không rõ

Bài 1: Ta có 2009²⁰ = (2009²)¹⁰ = (2009.2009)¹⁰

                    20092009¹⁰ = (10001.2009)¹⁰

Mà 2009 < 10001 ➩ (2009.2009)¹⁰ < (10001.2009)¹⁰

Vậy 2009²⁰ < 20092009¹⁰

Bai 3:

Theo giả thiết suy ra các tích x1x2 , x2x3 , ...., xnx1 chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 và -1

Do đó x1x2 + x2x3 +...+ xnx1 = 0 <=> n = 2m

=> Đồng thời có m số hạng bằng 1 và m số hạng bằng -1

Nhận thấy : (x1x2)(x2x3)...(xnx1) = x12x22...xn2 = 1

=> Số các số hạng bằng -1 phải là số chẵn

=> m = 2k

Suy ra n = 2m = 2.2k = 4k

=> n chia hết cho 4

bai 2:

25−y²=8(x−2009)

⇒25−y²=8x−16072

⇒8x=25−y²−16072

⇒8x=25−16072−y²

⇒8x=−16047−y²

8×−16047−y²8=−16047−y²

⇒−16047−y²=−16047−y²

 có vô giá trị nhé 

Vậy 

Bài 11: 

Ta có: \(n^3-n^2+2n+7⋮n^2+1\)

\(\Leftrightarrow n^3+n-n^2-1+n+8⋮n^2+1\)

\(\Leftrightarrow n^2-64⋮n^2+1\)

\(\Leftrightarrow n^2+1\in\left\{1;5;13;65\right\}\)

\(\Leftrightarrow n^2\in\left\{0;4;64\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-2;2;8;-8\right\}\)

cái này mà lớp 1 hả cj xu???

ngộ ha 

lạ lắm à nha 

\(x+y=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-y\left(1\right)\)

Giả sử: \(x.y\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(2-y\right).y\le1\)

\(\Leftrightarrow y^2-2.y+1\ge0\),

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\ge1\)

Từ (1) và (2) suy ra:\(x.y\le1\)

Vì x+y=2 -> x=2-y 
ta có: xy=(2-y)y 
=2y-y^2 
=-y^2+2y-1+1 
=-(y-1)^2+1 
Vì (y-1)^2>=0 -> -(y-1)^2<=0(với mọi y) 
-> -(y-1)^2+1 <=1(với mọi y) 
Vậy xy<=1

ta có xy<=(x+y)^2/4 
cm 
<=> 4xy<=x^2+y^2+2xy 
<=> (x^2+y^2-2xy)>=0 
<=>(x-y)^2>=0 (dúng0) 
áp dụng xy<=(x+y)^2/4=2^2/4=1 
daứ = xảy ra là x=y=1 

bang bang de

 x+y=2 
<=> x=2-y(1) 
giả sử x*y≤1 
<=>(2-y)y≤1 
<=>y^2 - 2y +1≥0 
<=> (y-1)^2≥0 
<=>y≥1(2) 
từ (1),(2)=> x*y≤1 
 

xy = 1 vì :

1 + 1 = 2

vậy xy là 1 nha      

ta có Áp dụng bđt cô si ta có 

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow1\ge xy\) (ĐPCM)

dấu = xảy ra <=> x=y=1

Vì x+y=2 \(\Rightarrow\) x=2-y  

Ta có:

xy=(2-y)y

 =2y-y^2  

=-y^2+2y-1+1  

= -(y-1)^2+1  

Vì (y-1)^2\(\ge\)0 -> -(y-1)^2\(\le\)0(với mọi y)  

\(\Rightarrow\) -(y-1)^2+1 \(\le\)1(với mọi y)  

Vậy xy \(\le\)1

x+y=2

(x+y)^2=4

x^2+2xy+y^2=4

(x-y)^2=4-4xy=4(1-xy)

(x-y)^2 lon hon hoac=0 

=> 4(1-xy)>=0

=> 1-xy>=0

=> xy<=1=> dpcm