a, vs a là số thực dương cm : a+1/4a>1
b, vs x>0 ,tìm giá trị nhỏ nhất của bt :\(\dfrac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018\)
a) cho a là số thực dương cmr : \(a+\frac{1}{4a}\ge1\)
b) chó x>0 cmr tìm GTNN:\(\frac{16x^2-12x^2+1}{4x}+2018\)
mih sửa đề câu b) \(\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}\)nhé
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(a,\frac{1}{4a}\) ta được :
\(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}=2\cdot\frac{1}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)
b) Đặt \(B=\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2018=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2017\)
\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2017\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được:
\(x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{4x}}=1\)mà \(\left(2x-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow B\ge2018\)
Dáu "=" xảy ra <=> x=1/2
Bài 1:cho 2 số nguyên.số thứ nhất chia 5 dư 1,số thứ 2 chia 5 dư 2.hỏi tổng các bình phương của 2 số này có chia hết cho 5 không? Giải thích?
bài 2: so sánh:
a) x^2 -20x+101 và 0
b) 4a^2 + 4a +2 và 0
bài 3:Tìm giá trị của x để cho giá trị của biểu thức là nhỏ nhất? tÌm giá trị nhỏ nhất đó
a) 4x^2 +12x+15
b) 9x^2 -6x+5
bài 4: Thực hiện:
a) ( a+b+c-d)(a+b-c+d)
b) (a-b-c+d)( a-b+c-d)
giải giúp mình vs,mk cần gấp lắm ạ,mk cảm ơn
Bài 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=5c+1\\b=5d+2\end{matrix}\right.\)
\(a^2+b^2=\left(5c+1\right)^2+\left(5d+2\right)^2\)
\(=25c^2+10c+1+25d^2+20d+4\)
\(=25c^2+25d^2+10c+20d+5\)
\(=5\left(5c^2+5d^2+2c+4d+1\right)⋮5\)
Bài 3:
a: \(4x^2+12x+15=4x^2+12x+9+6=\left(2x+3\right)^2+6>=6\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-3/2
b: \(9x^2-6x+5=9x^2-6x+1+4=\left(3x-1\right)^2+4>=4\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1/3
Giúp mn vs :<
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+\dfrac{1}{y}< =1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a2 -2ab -3b2 ≥ 0. Tìm giá trị nhỏ nhất P =\(\dfrac{4a^2+b^2}{ab}\)
Lời giải:
$a^2-2ab-3b^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^2+ab)-(3ab+3b^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow a(a+b)-3b(a+b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-3b)\geq 0$
$\Leftrightarrow a-3b\geq 0$ (do $a+b>0$ với mọi $a,b>0$)
$\Leftrightarrow a\geq 3b$
Xét hiệu:
$P-\frac{37}{3}=\frac{4a^2+b^2}{ab}-\frac{37}{3}$
$=\frac{12a^2+3b^2-37ab}{3ab}=\frac{(a-3b)(12a-b)}{3ab}\geq 0$ do $a\geq 3b>0$
$\Rightarrow P\geq \frac{37}{3}$
Vậy $P_{\min}=\frac{37}{3}$
1.Cho 3 số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(\dfrac{1}{\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\left(a+c\right)}-\dfrac{2}{5\sqrt{a+b+c}}\)
2.Cho 3 sô thực dương thỏa mãn 6a+3b+2a=abc
Tìm giá trị lớn nhất của Q = \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{c^2+9}}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau
a) A= \(\dfrac{-3}{x^2-5x+1}\)
b) B=\(\dfrac{2x^2+4x+4}{x^2}\)
c) C= \(\dfrac{2x^2-16x+41}{x^2-8x+22}\)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a^2 + b^2 + 1/a + 1/b
Giải phương trình căn(x-1) + căn (3-x) =x^2-4x+6
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên có:
\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)
\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:
\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)
Từ (1);(2) xảy ra khi
\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)
Vậy x=2 là nghiệm của pt
2. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=x^2-4x+6\)
Điều kiện : \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le3\left(1\right)\)
(Nháp nhé : dễ thấy phương trình có nghiệm \(x=2\) nên ta sẽ thêm bớt để có \(\left(x-2\right)\)là nhân tử chung )
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=x^2-4x+4\)
nhân liên hợp có :
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{3-x}+1\right)\left(\sqrt{3-x}-1\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{-\left(x-2\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{1}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\frac{1}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}-\left(x-2\right)\right]=0\)
\(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)vì \(\left(\sqrt{x-1}+1\right)>\left(\sqrt{3-x}+1\right)\Rightarrow\frac{1}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\frac{1}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}< 0\)nên \(\frac{1}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\frac{1}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}-\left(x-2\right)< 0\forall x\in\left\{1.3\right\}\)do đó phương trình vô nghiệmKết luận nghiệm nhéa) cho a>0 . c/m a+\(\frac{1}{4a}\ge1\)
b) với x>0 . Tìm GTLN \(\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018\)
Lời giải:
a)
Xét hiệu:
\(a+\frac{1}{4a}-1=(\sqrt{a})^2+(\frac{1}{2\sqrt{a}})^2-2.\sqrt{a}.\frac{1}{2\sqrt{a}}=(\sqrt{a}-\frac{1}{2\sqrt{a}})^2\geq 0, \forall a>0\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4a}\geq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\frac{1}{2\sqrt{a}}=0\) hay $a=\frac{1}{2}$
b)
Biểu thức \(\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018\) không có GTLN bạn nhé, chỉ có GTNN
Với x là số thực,tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1, A = 2x^2 + 4x + 1
2, B = 3x - x^2 + 4
3, C = 8x - 4x^2
4, D = \(\dfrac{1}{4x^2-4x+5}\)
HELPPPPP Me T.T
\(A=2x^2+4x+1=2\left(x^2+2x+1\right)-1=2\left(x+1\right)^2-1\ge-1\)
\(A_{min}=-1\) khi \(x=-1\)
Câu B chỉ có max, ko có min
\(B=-x^2+3x+4=-\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{25}{4}=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\le\dfrac{25}{4}\)
\(B_{max}=\dfrac{25}{4}\) khi \(x=\dfrac{3}{2}\)
Câu C cũng chỉ có max, không có min
\(C=-4x^2+8x=-4\left(x^2-2x+1\right)+4=-4\left(x-1\right)^2+4\le4\)
\(C_{max}=4\) khi \(x=1\)
Câu D cũng chỉ có max, không có min
\(D=\dfrac{3}{4x^2-4x+1+4}=\dfrac{3}{\left(2x-1\right)^2+4}\le\dfrac{3}{4}\)
\(C_{max}=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)
(4 câu có 3 câu sai đề)