\(\left(2x+1\right)\left(x+3\right)+\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)+\left(x+5\right)\left(x+1\right)\)

\(=2x^2+6x+x+3+x^3+2x^2+x+2x^2+4x+2+x^2+x+5x+5\)

\(=x^3+7x^2+18x+10\)

đúng ko nhỉ?

tham khảo : KHAI TRIỂN RÚT GỌN ĐA THỨC BẰNG CASIO (1LINK DUY NHẤT) - YouTube

Ta có:

\(2A_n^2=C_{n-1}^2+C_{n-1}^3\) \(\left(n\ge4\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}=\dfrac{\left(n-1\right)!}{2!\left(n-1-2\right)!}+\dfrac{\left(n-1\right)!}{3!\left(n-1-3\right)!}\)

\(\Rightarrow2\cdot n\left(n-1\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

\(\Rightarrow2n=\dfrac{n-2}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

\(\Rightarrow n=14\) hoặc \(n=0\left(loại\right)\)

Với n=14 ta có khai triển:

\(\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^{14}=\sum\limits^{14}_{k=0}\cdot C_{14}^k\cdot\left(x^2\right)^{14-k}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^k\)

                      \(=C_{14}^k\cdot x^{28-4k}\)

Số hạng không chứa x: \(\Rightarrow28-4k=0\Rightarrow k=7\)

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:

\(C_{14}^7\cdot x^{28-4\cdot7}=C_{14}^7=3432\)

\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)

Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)

b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):

\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)

c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)

SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)

\(a.\left(2xy-3\right)^2=4x^2y^2-12xy+9\)

\(b.\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}\)

a) (2xy)²-2(2xy-3)+3²

a)\(\left(2xy-3\right)^2=\left(2xy\right)^2-2\cdot2xy\cdot3+3^2=4x^2y^2-12xy+9\)

b)\(\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{2}x\cdot\dfrac{1}{3}y+\left(\dfrac{1}{3}y\right)^2\)

                          \(=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{3}xy+\dfrac{1}{9}y^2\)

a: \(=-\left[\left(\dfrac{1}{3}ab^2+2a^3b\right)^3\right]\)

\(=\dfrac{-1}{27}a^3b^6-3\cdot\dfrac{1}{9}a^2b^4\cdot2a^3b-3\cdot\dfrac{1}{3}ab^2\cdot4a^6b^2-8a^9b^3\)

\(=\dfrac{-1}{27}a^3b^6-\dfrac{2}{3}a^5b^5-4a^7b^4-8a^9b^3\)

b: \(=x^3+3x^2+3x+1-x^3+3x^2-3x+1-6\left(x^2-1\right)\)

\(=6x^2+2-6x^2+6\)

=8

a, \(\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^2}{3}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C^k_5.\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5-k}.\left(-\dfrac{x^2}{3}\right)^k=\sum\limits^5_{k=0}C^k_5.\left(-\dfrac{1}{3}\right)^k.x^{3k-5}\)

b, \(\left(\sqrt{2}x+1\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C^k_5.\left(\sqrt{2}x\right)^k=\sum\limits^5_{k=0}C^k_5.\left(\sqrt{2}\right)^k.x^k\)

1D; 2B; 3D