\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:

`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`

Hoàn toàn tương tự:

`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`

`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`

`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`

`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`

Tìm ab , biết :

ab + ab3 = 619 suy ra b phải = 6 vì 3 
+ b = 9 nên b= 6 chuyển thành a6 + a63 suy ra a = 5 vì 6 + a = 1 vậy a = 5  cuyển thành 56 + 563 = 619 

vậy ab = 56

         2 .a3b : ab = 11 ( biết a < b )

cuyển thành 11 x ab = a3b mà 3 = a + b mà b lớn hơn a 

nếu a = 3 thì b = 0 

là sai

nếu a = 2 thì b = 1 

là sai

nếu a = 1 thì b = 2 ( đúng yêu cầu )

ta thử a= 1 , b = 2 thì thành 132 : 12 = 11

vậy ab = 12

rồi nha bạn hih

ab; ab3; a3b là số hả bạn? nếu là số thì phải có gạch đầu chứ!!!

chắc bn ấy ko bit gạch hay bn ấy quên nhưng mk đảm bảo ab ,ab3,a3b là số

1. Vì ab3 chia hết cho 9 nên ab= 51, đồng thời 5-1=4

Vậy ab=51

2. ( 14,7-y) = 1/3: 2/9

      14,7-y  = 3/2

              y  = 14,7-3/2

              y  = 14,7- 1,5

             y   = 13,2

Đáp án đúng : C

a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}=\frac{a^6}{a^2b+a^2c}+\frac{b^6}{b^2a+b^2c}+\frac{c^6}{c^2a+c^2b}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\)

Dấu "=" ko xảy ra ??? 

\(\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\le\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)^3}{2}}< \sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)^3}{8}}=\frac{a+b}{2}\)

\(\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}}\ge\sqrt[4]{\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}}\ge\sqrt[4]{\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}}=\sqrt[4]{\frac{\left(a+b\right)^4}{16}}=\frac{a+b}{2}\)

\(VT< VP\)

Dấu "=" không xảy ra ?!?

\(\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\le\frac{a^3+b^3}{2}+1+1=\frac{a^3+b^3+4}{2}\) (theo cô si)

Mặt khác: \(VP>\sqrt[4]{\frac{\frac{\left(a^3+b^3+4\right)^2}{2}}{2}}\ge\sqrt[4]{\frac{\left[\frac{\left(a^3+b^3+4\right)^2}{2}\right]^2}{4}}\)

\(=\sqrt[4]{\frac{\left(a^3+b^3+4\right)^4}{16}}=\frac{a^3+b^3+4}{2}\ge VT\)

Vậy \(VP>VT\)

\(\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}}=\sqrt[12]{\frac{\left(\frac{a^6}{a^2}+\frac{b^6}{b^2}\right)^3}{8}}\ge\sqrt[12]{\frac{\left(a^3+b^3\right)^6}{8\left(a^2+b^2\right)^3}}\ge\sqrt[12]{\frac{\frac{\left(a^3+b^3\right)^4\left(a^2+b^2\right)^4}{\left(a+b\right)^2}}{8\left(a^2+b^2\right)^3}}\)

\(=\sqrt[12]{\frac{\left(a^3+b^3\right)^4\left(a^2+b^2\right)}{8\left(a+b\right)^2}}\ge\sqrt[12]{\frac{\frac{\left(a^3+b^3\right)^4\left(a+b\right)^2}{2}}{8\left(a+b\right)^2}}=\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\)

dấu "=" xay ra khi a=b=c