Ta có: \(x< y\Rightarrow\dfrac{a}{m}< \dfrac{b}{m}\Rightarrow a< b\left(m>0\right)\)

\(z=\dfrac{a+b}{2m}>\dfrac{a+a}{2m}=\dfrac{2a}{2m}=\dfrac{a}{m}=x\)

\(z=\dfrac{a+b}{2m}< \dfrac{b+b}{2m}=\dfrac{2b}{2m}=\dfrac{b}{m}=y\)

\(\Rightarrow x< z< y\)

Ta có: \(x< y\Leftrightarrow\dfrac{a}{m}< \dfrac{b}{m}\Leftrightarrow a< b\)(1)

Từ (1), Suy ra:

\(a< b\Leftrightarrow a+a< b+a\Leftrightarrow2a< a+b\left(2\right)\)

\(a< b\Leftrightarrow a+b< b+b\Leftrightarrow a+b< 2b\left(3\right)\)

Từ (2);(3), ta có:

\(2a< a+b< 2b\Leftrightarrow\dfrac{2a}{2m}< \dfrac{a+b}{2m}< \dfrac{2b}{2m}\)

\(\Leftrightarrow x< z< y\left(đpcm\right)\)

Có x=a/m; y=b/m và x<y nên a/m<b/m ⇒a<b

Giả sử z>x là đúng thì\(\dfrac{a+b}{2m}>\dfrac{a}{m}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2m}-\dfrac{a}{m}>0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2a}{2m}>0\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{2m}>0\\ m\text{à}b>a;m>0n\text{ê}nz>xl\text{à}\text{đ}\text{úng (1)}\)Giả sử z<y là đúng thì

\(\dfrac{a+b}{2m}< \dfrac{b}{m}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2m}-\dfrac{b}{m}< 0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2b}{2m}< 0\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2m}< 0\\ m\text{à}a< b;m>0n\text{ê}nz< yl\text{à}\text{đ}\text{úng (2)}\)

Từ (1)và(2) suy ra đpcm

Theo đề bài ta có x = , y = ( a, b, m ∈ Z, m > 0)

Vì x < y nên ta suy ra a< b

Ta có : x = , y = ; z =

Vì a < b => a + a < a +b => 2a < a + b

Do 2a< a +b nên x < z (1)

Vì a < b => a + b < b + b => a + b < 2b

Do a+b < 2b nên z < y (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra x < z< y

Hãy chứng tỏ rằngGiả sử x = ; y = ( a, b, m Z, b # 0) và x < y. Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn z =∈ thì ta có x < z < yLời giải:Theo đề bài ta có x = , y = ( a, b, m Z, m > 0)∈Vì x < y nên ta suy ra a< bTa có : x = , y = ; z = Vì a < b => a + a < a +b => 2a < a + b

Theo đề bài ta có x = , y = ( a, b, m ∈ Z, m > 0)

Vì x < y nên ta suy ra a< b

Ta có : x = , y = ; z =

Vì a < b => a + a < a +b => 2a < a + b

Do 2a< a +b nên x < z (1)

Vì a < b => a + b < b + b => a + b < 2b

Do a+b < 2b nên z < y (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra x < z< y

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(P=ax^m+\frac{b}{x^n}=\frac{a}{n}x^m+\frac{a}{n}x^m+...+\frac{a}{n}x^m+\frac{b}{mx^n}+...+\frac{b}{mx^n}\)

\(=(m+n)\sqrt[m+n]{(\frac{a}{n})^n.x^{mn}.(\frac{b}{m})^m.\frac{1}{x^{mn}}}\)

\(=(m+n)\sqrt[m+n]{\frac{a^nb^m}{n^n.m^m}}\)

Vì a < b => a + a < a + b => 2a < a + b

Do 2a < a + b nên x < z (1)

Vì a < b nên a + b < b + b => a + b < 2b

Do a + b < 2b nên z < y (2)

Từ (1) và (2) => x < z < y (đpcm)