Xét ΔAKM và ΔBKC ta có:

AK = BK (Vì K là trung điểm AB)

∠(AKM) =∠(BKC) (đối đỉnh)

KM=KC (giả thiết)

Suy ra: ΔAKM = ΔBKC(c.g.c)

⇒AM =BC (hai cạnh tương ứng)

Và ∠(AMK) =∠(BCK) (2 góc tương ứng)

Suy ra: AM // BC ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Tương tự: ΔAEN= ΔCEB(c.g.c)

⇒ AN = BC (2 cạnh tương ứng)

Và ∠(EAN) =∠(ECB) (2 góc tương ứng)

Suy ra: AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Ta có: AM // BC và AN // BC nên hai đường thẳng AM và AN trùng nhau hay A,M,N thẳng hàng (1)

Lại có: AM = AN ( vì cùng bằng BC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của MN

Mình giả bài này rồi nhé, định bào bạn vào TK mình lục nhưng thôi tại mình cung đang rảnh:vv

+Xét \(\Delta AEN\) và \(\Delta CEB:\)

AE=CE(gt)

EN=EB(gt)

\(\widehat{AEN}=\widehat{CEB}\) (2 góc đối đỉnh)

=> \(\Delta AEN=\Delta CEB\left(c-g-c\right)\)

=> AN=CB(2 cạnh t/ứ)(1)

+Xét \(\Delta AKN\) và \(\Delta BKC:\)

AK=BK(gt)

MK=CK(gt)

\(\widehat{AKM}=\widehat{BKC}\) (2 góc đối đỉnh)

=> \(\Delta AKM=\Delta BKC\left(c-g-c\right)\)

=> AM=BC(2 cạnh t/ứ)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN (3)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAK}=\widehat{CBK}\left(\Delta MAK=\Delta CKB\right)\\\widehat{NAE}=\widehat{BCE}\left(\Delta NAE=\Delta BCE\right)\end{matrix}\right.\)

Mà:  \(\widehat{CBK}+\widehat{BAC}+\widehat{BCE}=180^o\)

\(\widehat{MAK}+\widehat{BAC}+\widehat{NAE}=180^o\)

=> M, A, N thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra: A là trung điểm của MN

Xét tam giác AKM và tam giác BKC có:

AK = BK (K là trung điểm của AB)

AKM = BKC ( 2 góc đối đỉnh)

KM = KC (gt)

=> Tam giác AKM = Tam giác BKC (c.g.c)

=> AM = BC (2 cạnh tương ứng) (1)

AMK = BCK (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AM // BC (2)

Xét tam giác AEN và tam giác CEB có:

AE = CE (E là trung điểm của AC)

AEN = CEB (2 góc đối đỉnh)

EN = EB (gt)

=> Tam giác AEN = Tam giác CEB (c.g.c)

=> AN = CB (2 cạnh tương ứng) (3)

ANE = CBE (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AN // CB (4)

Từ (1) và (3)

=> AM = AN (5)

Từ (2) và (4)

=> A, M, N thẳng hàng (6)

Từ (5) và (6)

=> A là trung điểm của MN

Xét \(\Delta AMKvà\Delta BKCcó:\)

KA=KB

góc MKA=góc BKC

KM=KC

\(\Rightarrow\Delta AMK=\Delta BCK\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\)AM=BC                                                  (1)

\(\Rightarrow\)MA//BC (góc M so le trong với góc C)      (3)

Xét \(\Delta AENvà\Delta BECcó:\)

EA=EC

góc AEN=góc BEC

EN=EB

\(\Rightarrow\Delta AEN=\Delta CEB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\)NA=BC                                                (2)

\(\Rightarrow\)NA//BC (góc N so le trong với góc C)     (4)

Từ (1) và (2) có: M,A,N thẳng hàng 

Từ (3) và (4) có: AM=AN