Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có sin ∠ (NAM) = HM/AM và diện tích tam giác AMN là S A M N  = 1/2AN.MH = 1/2AN.AM.sin(NAM) = 1/2 A N 2 .sin(NAM) = 1/2( A D 2 + D N 2 ). sin(NAM) = ( 5 a 2 )/2 sin(NAM).

Vì \(\tan MAB=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{MAB}=26,5°\)Tương tự có \(\widehat{NAD}=26,5°\)

\(\Rightarrow\widehat{MAN}=37°\Rightarrow\cos MAN=\cos37\approx0,79\)

AM là hình chiếu của SM trên (ABCD).

- Xét tam giác vuông ABM ta có: 

- Xét tam giác vuông SAM ta có: 

a) Gọi H là giao điểm của AM và BN

\(\Delta ABMvà\Delta BCN\) có:

AB=BC(ABCD là hình vuông)

góc ABM=góc BCN=90^o

BM=CN=1/2 cạnh hình vuông

=>\(\Delta ABM=\Delta BCN\left(c-g-c\right)\)

=> góc AMB= góc BNC

mà BNC+HBC=90^o

=>AMB+HBC=90⁰

=> góc BHM=90⁰

=>\(AM\perp BN\)(đpcm)

b)tam giác ABM và tam giác ADN có:

AB=AD(ABCD là hình vuông )

góc ABM=góc ADN=90^o

BM=DN=1/2 cạnh hình vuông

=> tam giác ABM= tam giác ADN(c.g.c)

=> AM=AN=\(\sqrt{AD^2+DN^2}=\sqrt{\left(2DN\right)^2+DN^2}=DN\sqrt{5}=a\sqrt{5}\)

tam giác ABH vuông tại B có BH vuông góc với AM

=> AH.AM=AB²

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{AM}=\dfrac{4a^2}{a\sqrt{5}}=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}\)

=> cos MAN = \(\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}:a\sqrt{5}=\dfrac{4}{5}\)

Gọi I = AC ∩ MN ⇒ I là trung điểm của OC, ta có:

- Ta có: MN// BD mà BD ⊥ (SAC)(cmt) ⇒ MN ⊥ (SAC).

- Trong (SAC) kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒ MN ⊥ AH.

- Ta có:

- Xét tam giác vuông SAI ta có:

Ta có:

Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm một mặt phẳng chứa SK mà song song với MN, đó chính là mặt phẳng (SAD)

- Từ đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ MN đến (SAD).

Cách giải: Gọi I là trung điểm AD, AC cắt BD tại O. H là hình chiếu vuông góc của O trên SI.

Chú ý khi giải: HS thường không chú ý đến phương pháp tìm mặt phẳng song song mà chỉ tập trung đi tìm đường vuông góc chung dẫn đến sự phức tạp cho bài toán và không đi đến được đáp án.