Question

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD.

a) CMR : \(AM\perp BN\)

b) Tính \(\cos\widehat{MAN}\)

Answer 1

a) Gọi H là giao điểm của AM và BN

\(\Delta ABMvà\Delta BCN\) có:

AB=BC(ABCD là hình vuông)

góc ABM=góc BCN=90^o

BM=CN=1/2 cạnh hình vuông

=>\(\Delta ABM=\Delta BCN\left(c-g-c\right)\)

=> góc AMB= góc BNC

mà BNC+HBC=90^o

=>AMB+HBC=90⁰

=> góc BHM=90⁰

=>\(AM\perp BN\)(đpcm)

b)tam giác ABM và tam giác ADN có:

AB=AD(ABCD là hình vuông )

góc ABM=góc ADN=90^o

BM=DN=1/2 cạnh hình vuông

=> tam giác ABM= tam giác ADN(c.g.c)

=> AM=AN=\(\sqrt{AD^2+DN^2}=\sqrt{\left(2DN\right)^2+DN^2}=DN\sqrt{5}=a\sqrt{5}\)

tam giác ABH vuông tại B có BH vuông góc với AM

=> AH.AM=AB²

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{AM}=\dfrac{4a^2}{a\sqrt{5}}=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}\)

=> cos MAN = \(\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{4a}{\sqrt{5}}:a\sqrt{5}=\dfrac{4}{5}\)