Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.

Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS; CQ = CR = CN; DR = DS = DP

Vậy AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS = AN + NC + BS + SD = AC + BD

Bằng lí luận tương tự ta chứng minh được AB + CD = AC + BD = AD + BC

Gọi mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với các cạnh của hình tứ diện đã cho lần lượt tại M, N, P, Q ,R và S.

* Ta chứng minh: AM = AR = AQ.

Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC và AD lần lượt tại M; R và Q nên :

Xét ba tam giác OAM; OAR và OAQ có:

* Chứng minh tương tự ta có:

BM = BN = BS = b

CP = CN = CR = c.

DP = DQ = DS = d

Ta có:

Do đó, AB + CD = AC + BD = AD + BC.

+) Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau nên tứ giác A'B'C'D' ADD'A' CC'D'D là hình thoi.

+) AB' // C'D và C'D \( \bot \) CD' nên AB' \( \bot \)CD'

+) AC // A'C' và A'C' \( \bot \) B'D' nên AC \( \bot \) B'D'

+) B'C // A'D và A'D \( \bot \) AD' nên B'C \( \bot \) AD'

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC  ⊥  DB, nghĩa là  AB → . C D →  = 0 và  AC → . D B →  = 0 thì  AD → . B C → = 0 và do đó AD ⊥ BC.”

Chọn A