Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = a
a) Chứng minh rằng các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đồng quy và đôi một vuông góc với nhau
b) Tính \(V_{ABCD}\) theo a, b, c
c) Chứng minh rằng tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp của tứ diện ABCD trùng nhau. Tính bán kính của các mặt cầu đó theo a, b, c
Trong không gian Oxyz, cho \(S\left(0;0;2\right),A\left(0;0;0\right),B\left(1;2;0\right),C\left(0;2;0\right)\)
a) Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB
b) Tìm tọa độ của các điểm B' là giao của (P) với đường thẳng SB, C' là giao của (P) với đường thẳng SC
c) Tính thể tích tứ diện SAB'C
d) Tìm điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (P)
e) Chứng minh các điểm A, B, C, B', C' cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình của các mặt cầu đó và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đó tại C'
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-19=0\) và mặt phẳng \(\left(P\right):x-2y+2z-12=0\)
a) Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn
b) Tìm tọa đọ tâm và bán kính của đường tròn đó
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông ở B, \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của AC, góc giữa mặt bên (ABB'A') và mặt phẳng đáy bằng \(60^0\). Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a ?
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1+3t\\z=3+4t\end{matrix}\right.\) và hai điểm \(A\left(1;-2;1\right),B\left(1;1;5\right)\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua B và vuông góc với d
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A sao cho (P) cắt (S) theo một đường tòn đường kính bằng 8
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với \(A\left(0;0;0\right),B\left(1;0;0\right),D\left(0;1;0\right),A'\left(0;0;1\right)\)
a) Hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại
b) Chứng minh \(A'C\perp\left(BC'D\right)\)
c) Tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung của B'D và BC'
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, \(AD=a,AB=2a,\widehat{ABC}=45^0\). SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng \(60^0\). Tính thể tích hình chóp ?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC. Biết rằng SH là đường cao của hình chóp đã cho và cạnh SC tạo với đáy hình chóp đó một góc bằng \(60^0\)
a) Tính thể tích hình chóp S.CDNM
b) Tính khoảng cách giữa DM và SC
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left(0;5;1\right),B\left(8;-1;3\right)\)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
b) Chứng minh rằng đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu
\(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-16=0\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C'
a) Tính tỉ số \(\dfrac{V_{ACA'B'}}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
b) Tính \(V_{ACA'B'}\) biết tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với (ABC) một góc bằng \(60^0\)
